Чтобы выяснить, какие возможные остатки возникают при делении квадрата натурального числа на 8, давайте рассмотрим все натуральные числа и их квадраты по модулю 8.

Сначала определим, какие остатки могут быть у натуральных чисел при делении на 8. Натуральные числа могут давать следующие остатки:

• 0 (если число делится на 8)
• 1 (если число при делении на 8 дает остаток 1)
• 2 (если число при делении на 8 дает остаток 2)
• 3 (если число при делении на 8 дает остаток 3)
• 4 (если число при делении на 8 дает остаток 4)
• 5 (если число при делении на 8 дает остаток 5)
• 6 (если число при делении на 8 дает остаток 6)
• 7 (если число при делении на 8 дает остаток 7)

Теперь мы найдем квадраты этих остатков и посмотрим, какие остатки они дают при делении на 8:

1. Если остаток 0: 0^2 = 0 (остаток 0)
2. Если остаток 1: 1^2 = 1 (остаток 1)
3. Если остаток 2: 2^2 = 4 (остаток 4)
4. Если остаток 3: 3^2 = 9 (остаток 1, так как 9 делится на 8 с остатком 1)
5. Если остаток 4: 4^2 = 16 (остаток 0, так как 16 делится на 8 без остатка)
6. Если остаток 5: 5^2 = 25 (остаток 1, так как 25 делится на 8 с остатком 1)
7. Если остаток 6: 6^2 = 36 (остаток 4, так как 36 делится на 8 с остатком 4)
8. Если остаток 7: 7^2 = 49 (остаток 1, так как 49 делится на 8 с остатком 1)

Теперь соберем все уникальные остатки, которые мы получили:

• 0
• 1
• 4

Таким образом, возможные остатки при делении квадрата натурального числа на 8 — это 0, 1 и 4.