Какое количество членов последовательности an, заданной формулой an=n²-4n+2, меньше числа 14?

Алгебра 8 класс Последовательности и функции алгебра 8 класс последовательность an формула an=n²-4n+2 количество членов последовательности меньше числа 14 Новый

Чтобы найти количество членов последовательности a_n, заданной формулой a_n = n² - 4n + 2, которые меньше числа 14, нам нужно решить неравенство:

a_n < 14.

Подставим формулу a_n в неравенство:

n² - 4n + 2 < 14.

Теперь упростим неравенство:

• Переносим 14 влево:

n² - 4n + 2 - 14 < 0

Это упрощается до:

n² - 4n - 12 < 0.

Теперь мы можем решить это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

n² - 4n - 12 = 0.

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

n = (−b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -4, c = -12.

Подставляем значения:

• b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64.

Теперь находим корни:

• n = (4 ± √64) / 2 = (4 ± 8) / 2.

Это дает два корня:

• n₁ = (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6,
• n₂ = (4 - 8) / 2 = -4 / 2 = -2.

Теперь у нас есть корни n₁ = 6 и n₂ = -2. Квадратное неравенство n² - 4n - 12 < 0 имеет решение между корнями:

-2 < n < 6.

Поскольку n - это натуральное число (n = 1, 2, 3, ...), нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству:

• n = 1,
• n = 2,
• n = 3,
• n = 4,
• n = 5.

Таким образом, натуральные числа n, которые меньше 6 и больше -2, это 1, 2, 3, 4 и 5. Всего таких чисел 5.

Ответ: 5 членов последовательности a_n меньше 14.