Какое наименьшее значение выражения х² + у² - 4х + 6у + 19?

Алгебра 8 класс Квадратные функции и их графики наименьшее значение выражение алгебра 8 класс х² + у² решение задачи математический анализ Новый

Для нахождения наименьшего значения выражения x² + y² - 4x + 6y + 19 мы можем использовать метод completing the square (завершение квадрата) для переменных x и y.

Давайте начнем с преобразования выражения по отдельности для x и y.

1. Преобразование части с x:
   • Исходная часть: x² - 4x.
   • Чтобы завершить квадрат, берем половину коэффициента при x (то есть -4), возводим в квадрат и добавляем/вычитаем это значение:
   • Половина -4 равна -2, а (-2)² = 4.
   • Теперь можем записать: x² - 4x = (x - 2)² - 4.
2. Преобразование части с y:
   • Исходная часть: y² + 6y.
   • Берем половину коэффициента при y (то есть 6), возводим в квадрат:
   • Половина 6 равна 3, а (3)² = 9.
   • Теперь можем записать: y² + 6y = (y + 3)² - 9.

Теперь подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:

(x - 2)² - 4 + (y + 3)² - 9 + 19.

Упростим это:

(x - 2)² + (y + 3)² + 6.

Теперь мы видим, что выражение состоит из суммы квадратов и константы. Сумма квадратов (x - 2)² и (y + 3)² всегда неотрицательна, то есть (x - 2)² + (y + 3)² ≥ 0.

Наименьшее значение этой суммы достигается, когда оба квадрата равны нулю. Это происходит, когда:

• x - 2 = 0 (то есть x = 2),
• y + 3 = 0 (то есть y = -3).

Подставляя эти значения в выражение, мы получаем:

0 + 6 = 6.

Таким образом, наименьшее значение выражения x² + y² - 4x + 6y + 19 равно 6.