Чтобы найти область определения функции (4^((2x-1)/(x+1))-64)^(1/4), необходимо рассмотреть два основных условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, так как мы берем четвёртый корень.
2. Деление на ноль в дроби (2x-1)/(x+1) не допускается.

Теперь давайте разберем каждое из этих условий.

1. Условие неотрицательности

Первое условие требует, чтобы выражение 4^((2x-1)/(x+1)) - 64 ≥ 0.

Это можно переписать как:

4^((2x-1)/(x+1)) ≥ 64

Зная, что 64 = 4^3, мы можем записать:

4^((2x-1)/(x+1)) ≥ 4^3

Теперь, так как основание 4 положительное, можно убрать степень и записать:

(2x-1)/(x+1) ≥ 3

Теперь решим неравенство:

1. Перемножим обе стороны на (x + 1),учитывая, что x + 1 может быть положительным или отрицательным. В этом случае рассмотрим два случая:

Случай 1: x + 1 > 0 (т.е. x > -1)

1. Умножаем на (x + 1): 2x - 1 ≥ 3(x + 1)
2. Раскроем скобки: 2x - 1 ≥ 3x + 3
3. Переносим все члены в одну сторону: 2x - 3x ≥ 3 + 1
4. Получаем: -x ≥ 4, или x ≤ -4.

Случай 2: x + 1 < 0 (т.е. x < -1)

1. Умножаем на (x + 1): 2x - 1 ≤ 3(x + 1)
2. Раскроем скобки: 2x - 1 ≤ 3x + 3
3. Переносим все члены в одну сторону: 2x - 3x ≤ 3 + 1
4. Получаем: -x ≤ 4, или x ≥ -4.

Соберем результаты:

• Случай 1: x > -1 и x ≤ -4 не имеет решений.
• Случай 2: x < -1 и x ≥ -4 дает решение -4 ≤ x < -1.

2. Условие деления на ноль

Теперь проверим второе условие, чтобы не делить на ноль:

x + 1 ≠ 0, что означает x ≠ -1.

Объединение условий

Теперь мы можем объединить оба условия:

• Из первого условия мы получили -4 ≤ x < -1.
• Второе условие (x ≠ -1) не добавляет новых ограничений, так как -1 уже не входит в диапазон.

Таким образом, область определения функции:

-4 ≤ x < -1 или в интервале [-4, -1).