Каковы два последовательных натуральных числа, если квадрат их суммы превышает сумму их квадратов на 84?

Алгебра 8 класс Квадрат суммы и сумма квадратов последовательные натуральные числа квадрат суммы сумма квадратов алгебра 8 класс задача на числа решение уравнения математическая задача Новый

Для решения задачи начнем с обозначения двух последовательных натуральных чисел. Пусть первое число - это x, тогда второе число будет x + 1.

Теперь запишем условие задачи. Квадрат суммы этих чисел должен превышать сумму их квадратов на 84. Сначала найдем сумму чисел:

• Сумма: x + (x + 1) = 2x + 1

Теперь найдем квадрат этой суммы:

• Квадрат суммы: (2x + 1)²

Теперь найдем сумму квадратов этих чисел:

• Квадрат первого числа: x²
• Квадрат второго числа: (x + 1)² = x² + 2x + 1
• Сумма квадратов: x² + (x² + 2x + 1) = 2x² + 2x + 1

Теперь мы можем записать уравнение, исходя из условия задачи:

(2x + 1)² = (2x² + 2x + 1) + 84

Раскроем левую часть уравнения:

• Левая часть: (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1

Теперь подставим это в уравнение:

4x² + 4x + 1 = 2x² + 2x + 1 + 84

Упростим правую часть уравнения:

• 2x² + 2x + 1 + 84 = 2x² + 2x + 85

Теперь у нас есть уравнение:

4x² + 4x + 1 = 2x² + 2x + 85

Переносим все в одну сторону:

4x² + 4x + 1 - 2x² - 2x - 85 = 0

Упрощаем это уравнение:

2x² + 2x - 84 = 0

Теперь можем разделить все коэффициенты на 2:

x² + x - 42 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-42) = 1 + 168 = 169

Теперь находим корни уравнения:

• x = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √169) / 2 = (-1 ± 13) / 2

Это дает нам два значения:

• x₁ = (12) / 2 = 6
• x₂ = (-14) / 2 = -7 (отрицательное число, не подходит)

Таким образом, первое натуральное число x = 6, а второе число x + 1 = 7.

Ответ: два последовательных натуральных числа - 6 и 7.