Задание 1:

Для нахождения области определения функции нужно определить, при каких значениях переменной х функция будет иметь смысл.

а) у=√(2х-х^2):

• Функция содержит квадратный корень, а это означает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Поэтому мы должны решить неравенство:
• 2х - х^2 ≥ 0.
• Для этого мы можем сначала вынести общий множитель:
• х(2 - х) ≥ 0.
• Теперь мы находим нули: х = 0 и х = 2. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞).
• Теперь проверим знаки на каждом интервале:
• Для интервала (-∞, 0): возьмем х = -1. Подставляем: -1(2 - (-1)) = -1(3) < 0.
• Для интервала (0, 2): возьмем х = 1. Подставляем: 1(2 - 1) = 1(1) > 0.
• Для интервала (2, +∞): возьмем х = 3. Подставляем: 3(2 - 3) = 3(-1) < 0.
• Таким образом, неравенство выполняется на интервале [0, 2]. Следовательно, область определения функции у = √(2х - х^2) равна [0, 2].

б) у= 9/(х+5)^3:

• В этой функции у нас есть деление, поэтому знаменатель не должен равняться нулю:
• х + 5 ≠ 0.
• Решаем это неравенство:
• х ≠ -5.
• Таким образом, область определения функции у = 9/(х + 5)^3 будет равна всем действительным числам, кроме -5. Записываем это в виде: (-∞, -5) ∪ (-5, +∞).

Задание 2:

Для нахождения обратной функции нужно выразить х через у и затем поменять местами у и х.

у=⁴√(х-3):

• Начнем с того, что мы можем выразить х через у:
• Возведем обе стороны уравнения в четвертую степень:
• у^4 = х - 3.
• Теперь добавим 3 к обеим сторонам:
• х = у^4 + 3.
• Теперь поменяем местами у и х, чтобы получить обратную функцию:
• у = х^4 + 3.

Теперь определим область определения и область значений для обратной функции у = х^4 + 3:

• Область определения: так как х^4 может принимать любые неотрицательные значения, то область определения будет равна всем действительным числам: (-∞, +∞).
• Область значений: минимальное значение у будет, когда х = 0, тогда у = 0^4 + 3 = 3. Поскольку х^4 может расти до бесконечности, то область значений будет [3, +∞).

Итак, ответ:

• Обратная функция: у = х^4 + 3.
• Область определения: (-∞, +∞).
• Область значений: [3, +∞).