Тема: "Рациональные неравенства". Можете помочь решить с пояснениями следующие задачи?

1. (2x-3)(5x+2) >= (2x-3)(3x-8)
2. x^2(x^2-16) <= 9(x^2-16)

Алгебра 8 класс Рациональные неравенства алгебра 8 класс рациональные неравенства решение задач пояснения к задачам неравенства с переменной Новый

Конечно, давайте разберем обе задачи по порядку.

Задача 1: Решить неравенство (2x-3)(5x+2) >= (2x-3)(3x-8).

1. Сначала заметим, что (2x-3) является общим множителем с обеих сторон неравенства. Мы можем рассмотреть два случая: когда (2x-3) = 0 и когда (2x-3) ≠ 0.
2. Решим первое уравнение:
   • 2x - 3 = 0
   • 2x = 3
   • x = 3/2.

   Это значение мы будем учитывать в дальнейшем.

3. Теперь, когда (2x-3) ≠ 0, мы можем разделить обе стороны неравенства на (2x-3). Однако, нужно помнить, что знак неравенства изменится, если (2x-3) < 0. Поэтому сначала определим, когда (2x-3) < 0:
• 2x - 3 < 0
• 2x < 3
• x < 3/2.
4. Теперь, если (2x-3) > 0 (то есть x > 3/2), то мы можем упростить неравенство:
   • (5x + 2) >= (3x - 8)
   • 5x + 2 - 3x + 8 >= 0
   • 2x + 10 >= 0
   • 2x >= -10
   • x >= -5.

   При этом условии, так как x > 3/2, мы получаем, что x должен быть больше 3/2.

5. Теперь, если (2x-3) < 0 (то есть x < 3/2), то мы должны изменить знак неравенства:
   • (5x + 2) <= (3x - 8)
   • 5x + 2 - 3x + 8 <= 0
   • 2x + 10 <= 0
   • 2x <= -10
   • x <= -5.

   Таким образом, для x < 3/2, мы получаем x <= -5.

6. Теперь подведем итоги:
   • При x > 3/2, x >= -5 не дает ограничений, так что x >= 3/2.
   • При x < 3/2, мы получили x <= -5.
7. Таким образом, решение неравенства:
   • x <= -5 или x >= 3/2.

Задача 2: Решить неравенство x^2(x^2 - 16) >= 0.

1. Сначала упростим неравенство:
   • x^2(x^2 - 16) = x^2(x - 4)(x + 4).
2. Теперь у нас есть произведение трех множителей: x^2, (x - 4) и (x + 4). Чтобы определить, при каких значениях x произведение больше или равно нулю, найдем нули каждого множителя:
   • x^2 = 0 → x = 0;
   • x - 4 = 0 → x = 4;
   • x + 4 = 0 → x = -4.
3. Теперь у нас есть три критических точки: -4, 0 и 4. Разобьем числовую прямую на интервалы:
   • (-∞, -4);
   • (-4, 0);
   • (0, 4);
   • (4, +∞).
4. Теперь проверим знак произведения на каждом интервале:
   • Для x < -4 (например, x = -5):
     • x^2 > 0, (x - 4) < 0, (x + 4) < 0 → произведение > 0.
   • Для -4 < x < 0 (например, x = -1):
     • x^2 > 0, (x - 4) < 0, (x + 4) > 0 → произведение < 0.
   • Для 0 < x < 4 (например, x = 1):
     • x^2 > 0, (x - 4) < 0, (x + 4) > 0 → произведение < 0.
   • Для x > 4 (например, x = 5):
     • x^2 > 0, (x - 4) > 0, (x + 4) > 0 → произведение > 0.
5. Теперь подведем итоги:
   • Произведение больше или равно нулю на интервалах: (-∞, -4] и [4, +∞).
   • Не забываем учесть, что x^2 = 0 также входит в решение, поэтому x = 0 также включаем.
6. Итак, окончательное решение:
   • x ∈ (-∞, -4] ∪ {0} ∪ [4, +∞).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!