В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 7/25. Как можно вычислить синус и косинус угла при основании?

Алгебра 8 класс Треугольники равнобедренный треугольник косинус угла синус угла вычисление синуса вычисление косинуса алгебра 8 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренный треугольник, в котором косинус угла при вершине равен 7/25. Обозначим угол при вершине как α. Таким образом, мы имеем:

Шаг 1: Найдем синус угла при вершине.

Помним, что для любого угла α выполняется соотношение:

sin²(α) + cos²(α) = 1.

Подставим известное значение косинуса:

sin²(α) + (7/25)² = 1.

Теперь вычислим (7/25)²:

(7/25)² = 49/625.

Теперь подставим это значение в уравнение:

sin²(α) + 49/625 = 1.

Чтобы найти sin²(α), вычтем 49/625 из 1:

sin²(α) = 1 - 49/625 = 625/625 - 49/625 = 576/625.

Теперь найдем синус угла α:

sin(α) = √(576/625) = 24/25.

Шаг 2: Найдем углы при основании.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны и обозначим их как β. У нас есть следующее соотношение:

α + 2β = 180°.

Таким образом, мы можем выразить β:

2β = 180° - α.

β = (180° - α) / 2.

Шаг 3: Найдем косинус и синус угла при основании.

Известно, что:

cos(β) = cos((180° - α)/2) = -cos(α/2) (по формуле косинуса половинного угла).

С учетом того, что cos(α) = 7/25, мы можем использовать формулу для косинуса половинного угла:

cos(β) = √((1 + cos(α)) / 2) = √((1 + 7/25) / 2).

Теперь вычислим:

1 + 7/25 = 25/25 + 7/25 = 32/25.

Теперь подставим это значение:

cos(β) = √((32/25) / 2) = √(32/50) = √(16/25) = 4/5.

Теперь найдем синус угла β. Используем соотношение:

sin(β) = √(1 - cos²(β)).

Теперь подставим значение cos(β):

sin(β) = √(1 - (4/5)²) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5.

Ответ:

• Синус угла при основании (β) равен 3/5.
• Косинус угла при основании (β) равен 4/5.