Чтобы определить косинус угла VAN, давайте сначала разберемся с треугольником ABC и данными, которые у нас есть.

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, следовательно, это равнобедренный треугольник. Пусть угол BAC обозначим как α. Из условия задачи нам дано, что косинус угла BAC равен 2√6/5.

Теперь давайте разберемся, что такое угол VAN. Обычно такие обозначения используются в задачах, где рассматриваются дополнительные точки, например, точки пересечения высот, медиан или биссектрис. Однако в данном случае нам не предоставлено информации о точке V или N, поэтому мы не можем напрямую определить косинус угла VAN.

Если предположить, что V и N - это точки, связанные с высотой AH или другими элементами треугольника, нам нужно больше информации, чтобы точно определить угол VAN.

Но если вы хотите рассмотреть косинус какого-либо угла, связанного с треугольником ABC, например, угла AHB, то мы можем использовать известные значения и свойства треугольника.

1. Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны. То есть, угол ABC также равен α.
2. Используя свойства высоты в равнобедренном треугольнике, можно сказать, что высота AH делит основание AB на две равные части и образует два прямоугольных треугольника, AHC и BHC.
3. Для нахождения косинуса угла AHB, можно использовать тригонометрические свойства прямоугольного треугольника.

Таким образом, чтобы точно определить косинус угла VAN, необходимо знать, где находятся точки V и N и как они связаны с треугольником ABC. Если у вас есть дополнительные данные, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли продолжить решение задачи.