Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 3 больше числителя. Если числитель увеличить на 7, а знаменатель на 5, то дробь увеличится на 1/2. Найдите эту дробь. (20 баллов)

Алгебра 8 класс Рациональные дроби алгебра 8 класс обыкновенная дробь несократимая дробь числитель знаменатель уравнение увеличение дроби задача на дроби математическая задача решение задачи дробь алгебраические уравнения поиск дроби школьная математика Новый

Обозначим числитель дроби как x, тогда знаменатель будет x + 3.

Составим уравнение по условию задачи:

• Исходная дробь: x / (x + 3)
• После увеличения: (x + 7) / (x + 8)

По условию:

(x + 7) / (x + 8) = x / (x + 3) + 1/2

Упростим уравнение:

2(x + 7) = (x + 8)(x) + (x + 3)

Раскроем скобки:

2x + 14 = x^2 + 8x + x + 3

Соберем все в одну сторону:

0 = x^2 + 7x - 11

Решим квадратное уравнение:

x = (7 ± √(49 + 44)) / 2 = (7 ± √93) / 2

Так как дробь должна быть целым числом, найдем целые значения:

Подставим x = 1:

• Числитель: 1
• Знаменатель: 4

Дробь: 1/4

Проверим:

• После увеличения: (1 + 7) / (4 + 5) = 8 / 9
• 1/4 + 1/2 = 2/4 + 1/4 = 3/4

Дробь не подходит. Попробуем x = 2:

• Числитель: 2
• Знаменатель: 5

Дробь: 2/5

Проверим:

• После увеличения: (2 + 7) / (5 + 5) = 9 / 10
• 2/5 + 1/2 = 4/10 + 5/10 = 9/10

Таким образом, дробь: 2/5.