10. Как упростить выражение: √(26 - 8√(2 + √(9 + √32)))?

Алгебра 9 класс Упрощение иррациональных выражений Упрощение выражения алгебра 9 класс корень квадратный корень математические выражения алгебраические операции Новый

Чтобы упростить выражение √(26 - 8√(2 + √(9 + √32))), начнем с упрощения внутренней части под корнем.

Сначала разберем √(9 + √32). Мы знаем, что √32 = √(16 * 2) = 4√2. Таким образом, можно переписать выражение:

√(9 + √32) = √(9 + 4√2).

Теперь давайте попробуем упростить √(9 + 4√2). Мы можем предположить, что это выражение может быть представлено в виде (a + b)², где a и b - некоторые числа. Тогда:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Сравнивая, мы видим, что:

• a² + b² = 9,
• 2ab = 4√2.

Из второго уравнения можно выразить ab:

ab = 2√2.

Теперь попробуем найти подходящие a и b. Рассмотрим a = 3 и b = 2√2. Тогда:

• a² = 3² = 9,
• b² = (2√2)² = 8,
• 2ab = 2 * 3 * 2√2 = 12√2.

Однако, это не подходит, так как 2ab должно быть равно 4√2. Попробуем взять a = 2 и b = √2:

• a² = 2² = 4,
• b² = (√2)² = 2,
• 2ab = 2 * 2 * √2 = 4√2.

Теперь мы видим, что:

a² + b² = 4 + 2 = 6, что не соответствует 9.

Попробуем другие комбинации. В итоге, мы можем заметить, что √(9 + 4√2) можно упростить до (3 + √2)², так как:

• a = 3, b = √2, a² + b² = 9 + 2 = 11,
• 2ab = 6√2, что также не соответствует.

Таким образом, мы можем сказать, что √(9 + 4√2) не имеет простого представления. Вернемся к исходному выражению:

Теперь подставим это обратно в выражение:

√(26 - 8√(2 + (3 + 4√2))).

Теперь упростим 2 + (3 + 4√2) = 5 + 4√2. Теперь нам нужно вычислить √(5 + 4√2).

Попробуем выразить √(5 + 4√2) в виде (a + b)². Сравнивая, мы можем получить:

• a² + b² = 5,
• 2ab = 4√2.

Из второго уравнения ab = 2√2. Попробуем a = 1 и b = 2√2:

• 1² + (2√2)² = 1 + 8 = 9, что не соответствует.

Таким образом, мы можем сказать, что √(5 + 4√2) не имеет простого представления. Вернемся к исходному выражению:

Теперь подставим это обратно в выражение:

√(26 - 8√(5 + 4√2)).

В итоге, мы видим, что это выражение не упрощается до простого числа. Мы можем оставить его в исходном виде или использовать числовые методы для приближенного вычисления.

Таким образом, окончательный ответ:

√(26 - 8√(2 + √(9 + √32))) не имеет простого представления и может быть оставлено в этом виде.