Для функции y=-x²+8x-15 определите:

1. а) область значений;
2. б) промежутки убывания;
3. в) нули функции;
4. г) промежутки, в которых y≤0.

Алгебра 9 класс Квадратичная функция алгебра 9 класс функция область значений промежутки убывания нули функции промежутки y≤0 квадратная функция анализ функции график функции математический анализ Новый

Давайте разберем функцию y = -x² + 8x - 15 по пунктам.

а) Область значений.

Функция является параболой, которая открыта вниз (так как коэффициент перед x² отрицательный). Чтобы найти область значений, сначала найдем координаты вершины параболы, так как именно в этой точке будет максимальное значение функции.

Формула для нахождения x-координаты вершины параболы: x = -b/(2a), где a = -1, b = 8.

1. Подставим значения: x = -8/(2*(-1)) = 8/2 = 4.

Теперь подставим x = 4 в функцию, чтобы найти максимальное значение y:

1. y = -4² + 8*4 - 15 = -16 + 32 - 15 = 1.

Таким образом, максимальное значение функции равно 1, а минимальное значение стремится к минус бесконечности. Следовательно, область значений функции: (-∞; 1].

б) Промежутки убывания и возрастания.

Парабола возрастает на промежутке от -∞ до вершины (x = 4) и убывает на промежутке от вершины до +∞.

• Возрастает: (-∞; 4)
• Убывает: (4; +∞)

в) Нули функции.

Чтобы найти нули функции, приравняем y к нулю и решим уравнение:

1. 0 = -x² + 8x - 15.
2. Перепишем уравнение: x² - 8x + 15 = 0.
3. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b² - 4ac = 8² - 4*1*15 = 64 - 60 = 4.
4. Так как D > 0, у уравнения два различных корня:
5. x1 = (8 + √4) / 2 = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5.
6. x2 = (8 - √4) / 2 = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3.

Таким образом, нули функции: x = 3 и x = 5.

г) Промежутки, в которых y ≤ 0.

Функция будет меньше или равна нулю на промежутках между корнями и за пределами них. Это можно записать в виде:

• y ≤ 0 на промежутках: (-∞; 3] и [5; +∞).

Итак, мы нашли все необходимые характеристики функции. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!