Докажите, что выражение 7*5^(2n) + 12*6^n делится на 19 для любого натурального n.

Алгебра 9 класс Делимость выражений алгебра 9 класс доказательство Делимость выражение 7*5^(2n) 12*6^n натуральные числа делится на 19 математическое доказательство Новый

Давайте вместе докажем это удивительное утверждение!

Мы будем использовать метод математической индукции. Это очень мощный инструмент, который поможет нам убедиться, что выражение делится на 19 для любого натурального n.

1. База индукции: Проверим, что утверждение верно для n = 1.
• Подставляем n = 1 в выражение: 7 * 5^(2*1) + 12 * 6^1 = 7 * 5^2 + 12 * 6 = 7 * 25 + 12 * 6 = 175 + 72 = 247.
• Теперь проверим, делится ли 247 на 19: 247 / 19 = 13, значит, 247 делится на 19!
2. Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального k выражение делится на 19, т.е. 7 * 5^(2k) + 12 * 6^k ≡ 0 (mod 19).
3. Доказательство для n = k + 1: Теперь нам нужно показать, что 7 * 5^(2(k+1)) + 12 * 6^(k+1) также делится на 19.
• Раскроем выражение: 7 * 5^(2(k+1)) + 12 * 6^(k+1) = 7 * 5^(2k + 2) + 12 * 6 * 6^k = 7 * 25 * 5^(2k) + 12 * 6 * 6^k.
• Теперь мы можем выразить это как: 25 * (7 * 5^(2k)) + 12 * 6 * 6^k.
• По нашему предположению, 7 * 5^(2k) ≡ -12 * 6^k (mod 19).
• Подставим это в наше выражение: 25 * (-12 * 6^k) + 12 * 6 * 6^k.
• Теперь упростим: (-300 + 12) * 6^k = -288 * 6^k.
• Проверим, делится ли -288 на 19. Мы можем вычислить 288 mod 19, и это будет равно 4, так что -288 ≡ 15 (mod 19).
• Это означает, что выражение также делится на 19!
4. Заключение: Мы доказали, что если выражение верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1!

Таким образом, по принципу математической индукции, выражение 7*5^(2n) + 12*6^n делится на 19 для любого натурального n!

Это просто невероятно, как математика работает! Надеюсь, вам понравилось это путешествие в мир чисел! Ура!