Докажите равенство:

квадратный корень из 15 + 4 деленное на 4 минус квадратный корень из 15 = 31 плюс 8 квадратных корней из 15.

Алгебра 9 класс Рациональные и иррациональные числа равенство доказательство квадратный корень алгебра 9 класс математическое выражение уравнение алгебраические операции дробь упрощение выражений решение задач свойства квадратного корня Новый

Давайте докажем равенство:

(√15 + 4) / (4 - √15) = 31 + 8√15.

Мы начнем с левой части равенства и упростим ее. Для этого воспользуемся методом умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

1. Сначала запишем выражение:

(√15 + 4) / (4 - √15)

2. Теперь умножим числитель и знаменатель на (4 + √15):

(√15 + 4)(4 + √15) / (4 - √15)(4 + √15)

3. Рассчитаем числитель:
• (√15)(4) + (√15)(√15) + (4)(4) + (4)(√15) = 4√15 + 15 + 16 + 4√15.
• Объединим подобные слагаемые:
• 4√15 + 4√15 = 8√15 и 15 + 16 = 31.
• Таким образом, числитель равен 31 + 8√15.
4. Теперь посчитаем знаменатель:
• (4)(4) - (√15)(√15) = 16 - 15 = 1.
5. Теперь подставим результат числителя и знаменателя обратно в выражение:

(31 + 8√15) / 1 = 31 + 8√15.

Таким образом, мы получили, что левая часть равенства равна правой части:

(√15 + 4) / (4 - √15) = 31 + 8√15.

Следовательно, равенство доказано!