Как можно доказать чётность функции: а) y=x^4-5x^2+8 cos x и б) y=7x^6+6x^4-5? Также, как можно доказать нечётность функции: а) y=x^5-5x-4sinx и б) y=4x^7-5x^3-5x?

Алгебра 9 класс Чётность и нечётность функций алгебра 9 класс четность функции нечетность функции доказательство чётности доказательство нечётности функции y=x^4-5x^2+8 cos x функции y=7x^6+6x^4-5 функции y=x^5-5x-4sinx функции y=4x^7-5x^3-5x свойства функций математический анализ алгебраические функции Новый

Чтобы доказать четность или нечетность функции, мы будем использовать следующие определения:

• Четная функция: Функция y = f(x) называется четной, если для всех x из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x).
• Нечетная функция: Функция y = f(x) называется нечетной, если для всех x из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Теперь давайте рассмотрим каждую функцию по порядку.

Четные функции:

1. Функция 1: y = x^4 - 5x^2 + 8cos(x)
   • Подставим -x вместо x: y(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 8cos(-x).
   • Упрощаем: y(-x) = x^4 - 5x^2 + 8cos(x), так как (-x)^4 = x^4, (-x)^2 = x^2 и cos(-x) = cos(x).
   • Таким образом, y(-x) = y(x), что доказывает, что функция четная.
2. Функция 2: y = 7x^6 + 6x^4 - 5
   • Подставим -x вместо x: y(-x) = 7(-x)^6 + 6(-x)^4 - 5.
   • Упрощаем: y(-x) = 7x^6 + 6x^4 - 5, так как (-x)^6 = x^6 и (-x)^4 = x^4.
   • Получаем y(-x) = y(x), что также доказывает четность функции.

Нечетные функции:

1. Функция 1: y = x^5 - 5x - 4sin(x)
   • Подставим -x вместо x: y(-x) = (-x)^5 - 5(-x) - 4sin(-x).
   • Упрощаем: y(-x) = -x^5 + 5x + 4sin(x), так как (-x)^5 = -x^5, -5(-x) = 5x и sin(-x) = -sin(x).
   • Теперь сравним с -y(x): -y(x) = - (x^5 - 5x - 4sin(x)) = -x^5 + 5x + 4sin(x).
   • Мы видим, что y(-x) = -y(x), значит, функция нечетная.
2. Функция 2: y = 4x^7 - 5x^3 - 5x
   • Подставим -x вместо x: y(-x) = 4(-x)^7 - 5(-x)^3 - 5(-x).
   • Упрощаем: y(-x) = -4x^7 + 5x^3 + 5x, так как (-x)^7 = -4x^7, (-x)^3 = -5x^3 и -5(-x) = 5x.
   • Теперь сравним с -y(x): -y(x) = - (4x^7 - 5x^3 - 5x) = -4x^7 + 5x^3 + 5x.
   • Таким образом, y(-x) = -y(x), что доказывает, что функция нечетная.

В заключение, мы проверили каждую функцию на четность и нечетность, используя определения и подстановку -x. Все шаги были подробно описаны для вашего понимания.