Как можно доказать, что фигура ABCD является квадратом, если известны координаты ее вершин: A(-4; -3; 5), B(-2; 3; -4), C(4; 10; 2), D(2; 4; 11)?

Алгебра 9 класс Геометрия в пространстве доказательство квадрата координаты вершин фигура ABCD алгебра 9 класс свойства квадрата геометрия векторы расстояние между точками угол между векторами аналитическая геометрия Новый

Чтобы доказать, что фигура ABCD является квадратом, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем использовать координаты вершин и свойства квадратов. Квадрат - это фигура, у которой все стороны равны, а углы между ними равны 90 градусов.

Давайте начнем с вычисления длины сторон ABCD. Для этого мы воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве:

Расстояние между точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) вычисляется по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Теперь вычислим длины всех сторон:

1. Длина AB:

Подставляем координаты A и B:

d(AB) = √((-2 - (-4))² + (3 - (-3))² + (-4 - 5)²)

= √((2)² + (6)² + (-9)²)

= √(4 + 36 + 81) = √121 = 11

2. Длина BC:

Подставляем координаты B и C:

d(BC) = √((4 - (-2))² + (10 - 3)² + (2 - (-4))²)

= √((6)² + (7)² + (6)²)

= √(36 + 49 + 36) = √121 = 11

3. Длина CD:

Подставляем координаты C и D:

d(CD) = √((2 - 4)² + (4 - 10)² + (11 - 2)²)

= √((-2)² + (-6)² + (9)²)

= √(4 + 36 + 81) = √121 = 11

4. Длина DA:

Подставляем координаты D и A:

d(DA) = √((-4 - 2)² + (-3 - 4)² + (5 - 11)²)

= √((-6)² + (-7)² + (-6)²)

= √(36 + 49 + 36) = √121 = 11

Теперь мы видим, что все стороны равны:

d(AB) = d(BC) = d(CD) = d(DA) = 11.

Следующий шаг - проверить, что углы между сторонами равны 90 градусов. Для этого мы можем использовать скалярное произведение векторов. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

Векторы:

• AB = B - A = (-2 + 4; 3 + 3; -4 - 5) = (2; 6; -9)
• BC = C - B = (4 + 2; 10 - 3; 2 + 4) = (6; 7; 6)
• CD = D - C = (2 - 4; 4 - 10; 11 - 2) = (-2; -6; 9)
• DA = A - D = (-4 - 2; -3 - 4; 5 - 11) = (-6; -7; -6)

Теперь вычислим скалярные произведения:

1. AB и BC:

AB · BC = (2 * 6) + (6 * 7) + (-9 * 6) = 12 + 42 - 54 = 0

2. BC и CD:

BC · CD = (6 * -2) + (7 * -6) + (6 * 9) = -12 - 42 + 54 = 0

3. CD и DA:

CD · DA = (-2 * -6) + (-6 * -7) + (9 * -6) = 12 + 42 - 54 = 0

4. DA и AB:

DA · AB = (-6 * 2) + (-7 * 6) + (-6 * -9) = -12 - 42 + 54 = 0

Все скалярные произведения равны 0, что подтверждает, что углы между всеми сторонами равны 90 градусов.

Таким образом, мы доказали, что фигура ABCD является квадратом, так как все стороны равны и углы между ними равны 90 градусов.