Чтобы доказать, что фигура ABCD является квадратом, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем использовать координаты вершин и свойства квадратов. Квадрат - это фигура, у которой все стороны равны, а углы между ними равны 90 градусов.

Давайте начнем с вычисления длины сторон ABCD. Для этого мы воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве:

Расстояние между точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) вычисляется по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Теперь вычислим длины всех сторон:

1. Длина AB:

Подставляем координаты A и B:

d(AB) = √((-2 - (-4))² + (3 - (-3))² + (-4 - 5)²)

= √((2)² + (6)² + (-9)²)

= √(4 + 36 + 81) = √121 = 11

2. Длина BC:

Подставляем координаты B и C:

d(BC) = √((4 - (-2))² + (10 - 3)² + (2 - (-4))²)

= √((6)² + (7)² + (6)²)

= √(36 + 49 + 36) = √121 = 11

3. Длина CD:

Подставляем координаты C и D:

d(CD) = √((2 - 4)² + (4 - 10)² + (11 - 2)²)

= √((-2)² + (-6)² + (9)²)

= √(4 + 36 + 81) = √121 = 11

4. Длина DA:

Подставляем координаты D и A:

d(DA) = √((-4 - 2)² + (-3 - 4)² + (5 - 11)²)

= √((-6)² + (-7)² + (-6)²)

= √(36 + 49 + 36) = √121 = 11

Теперь мы видим, что все стороны равны:

d(AB) = d(BC) = d(CD) = d(DA) = 11.

Следующий шаг - проверить, что углы между сторонами равны 90 градусов. Для этого мы можем использовать скалярное произведение векторов. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

Векторы:

• AB = B - A = (-2 + 4; 3 + 3; -4 - 5) = (2; 6; -9)
• BC = C - B = (4 + 2; 10 - 3; 2 + 4) = (6; 7; 6)
• CD = D - C = (2 - 4; 4 - 10; 11 - 2) = (-2; -6; 9)
• DA = A - D = (-4 - 2; -3 - 4; 5 - 11) = (-6; -7; -6)

Теперь вычислим скалярные произведения:

1. AB и BC:

AB · BC = (2 * 6) + (6 * 7) + (-9 * 6) = 12 + 42 - 54 = 0

2. BC и CD:

BC · CD = (6 * -2) + (7 * -6) + (6 * 9) = -12 - 42 + 54 = 0

3. CD и DA:

CD · DA = (-2 * -6) + (-6 * -7) + (9 * -6) = 12 + 42 - 54 = 0

4. DA и AB:

DA · AB = (-6 * 2) + (-7 * 6) + (-6 * -9) = -12 - 42 + 54 = 0

Все скалярные произведения равны 0, что подтверждает, что углы между всеми сторонами равны 90 градусов.

Таким образом, мы доказали, что фигура ABCD является квадратом, так как все стороны равны и углы между ними равны 90 градусов.