Как можно обосновать, что уравнение x² + 2182 = y² не имеет целых решений?

Алгебра 9 класс Диофантовы уравнения уравнение x² + 2182 = y² целые решения обоснование алгебра 9 класс математическая теория Новый

Чтобы обосновать, что уравнение x² + 2182 = y² не имеет целых решений, мы можем использовать метод анализа по модулю.

Давайте преобразуем данное уравнение:

x² + 2182 = y² можно переписать как y² - x² = 2182.

Это уравнение можно записать в виде разности квадратов:

(y - x)(y + x) = 2182.

Теперь нам нужно проанализировать целые множители 2182. Для этого мы найдем его делители.

Сначала найдем разложение числа 2182 на простые множители:

• 2182 четное число, следовательно, делится на 2: 2182 / 2 = 1091.
• Теперь проверим 1091 на делимость простыми числами. Оно не делится на 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.
• Так как 1091 не делится ни на одно из этих простых чисел, мы можем утверждать, что 1091 - простое число.

Теперь у нас есть разложение 2182: 2 * 1091.

Далее, поскольку (y - x)(y + x) = 2182, мы можем рассмотреть возможные пары множителей:

• (1, 2182)
• (2, 1091)
• (-1, -2182)
• (-2, -1091)

Для каждой из этих пар мы можем выразить y и x:

1. Для пары (1, 2182):
   • y - x = 1
   • y + x = 2182

   Решая систему, мы получаем:

   • 2y = 2183, y = 1091.5 (не целое)
   • 2x = 2181, x = 1090.5 (не целое)
2. Для пары (2, 1091):
   • y - x = 2
   • y + x = 1091

   Решая систему, мы получаем:

   • 2y = 1093, y = 546.5 (не целое)
   • 2x = 1089, x = 544.5 (не целое)
3. Аналогично для остальных пар, мы также получаем нецелые значения для y и x.

Таким образом, мы пришли к выводу, что ни одна из пар множителей не приводит к целым решениям для x и y. Следовательно, уравнение x² + 2182 = y² не имеет целых решений.