Как найти целочисленные решения уравнения 17x - 25y = 117?

Алгебра 9 класс Диофантовы уравнения целочисленные решения уравнение 17x - 25y = 117 алгебра 9 класс методы решения уравнений диофантовы уравнения Новый

Для нахождения целочисленных решений уравнения 17x - 25y = 117, мы можем использовать метод, основанный на нахождении общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения

Сначала мы решим однородное уравнение, которое выглядит так: 17x - 25y = 0. Для этого мы можем выразить y через x:

• 25y = 17x
• y = (17/25)x

Это уравнение показывает, что y зависит от x. Теперь мы можем выразить y как целое число, если x будет кратно 25. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

• x = 25k
• y = 17k

где k - любое целое число.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения

Теперь вернемся к нашему исходному уравнению 17x - 25y = 117. Мы можем попробовать найти одно частное решение, подставляя различные значения x или y. Например, подставим x = 10:

• 17(10) - 25y = 117
• 170 - 25y = 117
• -25y = 117 - 170
• -25y = -53
• y = 53/25

Это не дает нам целочисленного значения для y. Попробуем x = 5:

• 17(5) - 25y = 117
• 85 - 25y = 117
• -25y = 117 - 85
• -25y = 32
• y = -32/25

Попробуем x = 7:

• 17(7) - 25y = 117
• 119 - 25y = 117
• -25y = 117 - 119
• -25y = -2
• y = 2/25

Пробуем x = 8:

• 17(8) - 25y = 117
• 136 - 25y = 117
• -25y = 117 - 136
• -25y = -19
• y = 19/25

Пробуем x = 9:

• 17(9) - 25y = 117
• 153 - 25y = 117
• -25y = 117 - 153
• -25y = -36
• y = 36/25

Пробуем x = 11:

• 17(11) - 25y = 117
• 187 - 25y = 117
• -25y = 117 - 187
• -25y = -70
• y = 70/25 = 2.8

Пробуем x = 12:

• 17(12) - 25y = 117
• 204 - 25y = 117
• -25y = 117 - 204
• -25y = -87
• y = 87/25 = 3.48

Пробуем x = 13:

• 17(13) - 25y = 117
• 221 - 25y = 117
• -25y = 117 - 221
• -25y = -104
• y = 104/25 = 4.16

Пробуем x = 14:

• 17(14) - 25y = 117
• 238 - 25y = 117
• -25y = 117 - 238
• -25y = -121
• y = 121/25 = 4.84

Пробуем x = 15:

• 17(15) - 25y = 117
• 255 - 25y = 117
• -25y = 117 - 255
• -25y = -138
• y = 138/25 = 5.52

Пробуем x = 16:

• 17(16) - 25y = 117
• 272 - 25y = 117
• -25y = 117 - 272
• -25y = -155
• y = 155/25 = 6.2

Пробуем x = 17:

• 17(17) - 25y = 117
• 289 - 25y = 117
• -25y = 117 - 289
• -25y = -172
• y = 172/25 = 6.88

Пробуем x = 18:

• 17(18) - 25y = 117
• 306 - 25y = 117
• -25y = 117 - 306
• -25y = -189
• y = 189/25 = 7.56

Пробуем x = 19:

• 17(19) - 25y = 117
• 323 - 25y = 117
• -25y = 117 - 323
• -25y = -206
• y = 206/25 = 8.24

Пробуем x = 20:

• 17(20) - 25y = 117
• 340 - 25y = 117
• -25y = 117 - 340
• -25y = -223
• y = 223/25 = 8.92

Пробуем x = 21:

• 17(21) - 25y = 117
• 357 - 25y = 117
• -25y = 117 - 357
• -25y = -240
• y = 240/25 = 9.6

Пробуем x = 22:

• 17(22) - 25y = 117
• 374 - 25y = 117
• -25y = 117 - 374
• -25y = -257
• y = 257/25 = 10.28

Пробуем x = 23:

• 17(23) - 25y = 117
• 391 - 25y = 117
• -25y = 117 - 391
• -25y = -274
• y = 274/25 = 10.96

Пробуем x = 24:

• 17(24) - 25y = 117
• 408 - 25y = 117
• -25y = 117 - 408
• -25y = -291
• y = 291/25 = 11.64

Пробуем x = 25:

• 17(25) - 25y = 117
• 425 - 25y = 117
• -25y = 117 - 425
• -25y = -308
• y = 308/25 = 12.32

Пробуем x = 26:

• 17(26) - 25y = 117
• 442 - 25y = 117
• -25y = 117 - 442
• -25y = -325
• y = 325/25 = 13

Таким образом, мы нашли одно целочисленное решение: x = 26, y = 13.

Шаг 3: Найдем общее целочисленное решение

Теперь, когда у нас есть частное решение (x0, y0) = (26, 13), мы можем записать общее решение уравнения:

• x = 26 + 25t
• y = 13 + 17t

где t - любое целое число. Таким образом, все целочисленные решения уравнения 17x - 25y = 117 можно выразить через t.

Например, если t = 0, то (x, y) = (26, 13). Если t = 1, то (x, y) = (51, 30), и так далее.