Как можно определить наименьшее целое решение неравенства f `(x) > 0, если f(x) = 3x - x^2 - 1/3x^3?

Алгебра 9 класс Неравенства и функции наименьшее целое решение неравенство алгебра 9 класс f(x) = 3x - x^2 - 1/3x^3 определение решения Новый

Чтобы определить наименьшее целое решение неравенства f'(x) > 0, сначала нужно найти производную функции f(x) и затем решить неравенство.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

Функция дана как:

f(x) = 3x - x^2 - (1/3)x^3

Для нахождения производной используем правило дифференцирования:

• Производная от 3x равна 3.
• Производная от -x^2 равна -2x.
• Производная от -(1/3)x^3 равна -(1/3) * 3x^2 = -x^2.

Таким образом, производная f'(x) будет равна:

f'(x) = 3 - 2x - x^2

Шаг 2: Решим неравенство f'(x) > 0.

Неравенство выглядит так:

3 - 2x - x^2 > 0

Для решения этого неравенства сначала приведем его к стандартному виду:

-x^2 - 2x + 3 > 0

Умножим на -1 (при этом знак неравенства изменится):

x^2 + 2x - 3 < 0

Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения x^2 + 2x - 3 = 0.

Используем формулу корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2, c = -3.

Подставляем значения:

• b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
• Корни будут равны: x = (-2 ± √16) / 2 = (-2 ± 4) / 2.

Таким образом, корни:

• x1 = (2) / 2 = 1,
• x2 = (-6) / 2 = -3.

Шаг 4: Определим интервалы, на которых неравенство x^2 + 2x - 3 < 0 выполняется.

Корни делят числовую ось на три интервала:

• x < -3,
• -3 < x < 1,
• x > 1.

Теперь проверим знак функции на каждом из интервалов:

• Для x < -3 (например, x = -4): (-4)^2 + 2*(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 (положительно).
• Для -3 < x < 1 (например, x = 0): (0)^2 + 2*(0) - 3 = -3 (отрицательно).
• Для x > 1 (например, x = 2): (2)^2 + 2*(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 (положительно).

Таким образом, неравенство x^2 + 2x - 3 < 0 выполняется на интервале (-3, 1).

Шаг 5: Найдем наименьшее целое решение.

Наименьшее целое число в интервале (-3, 1) — это -2.

Ответ: Наименьшее целое решение неравенства f'(x) > 0 равно -2.