Как можно определить наименьшее натуральное решение неравенства (1 + tg(x/2)) / (2 + sin x) < 0?

Алгебра 9 класс Неравенства с тригонометрическими функциями наименьшее натуральное решение неравенство алгебра 9 класс tg(x/2) sin x решение неравенства Новый

Чтобы найти наименьшее натуральное решение неравенства (1 + tg(x/2)) / (2 + sin x) < 0, сначала проанализируем оба выражения в числителе и знаменателе.

Шаг 1: Анализ знаменателя

Знаменатель 2 + sin x всегда положителен, так как значение sin x колеблется от -1 до 1. Таким образом, 2 + sin x будет варьироваться от 1 до 3. Это значит, что знаменатель никогда не равен нулю и всегда положителен.

Шаг 2: Анализ числителя

Теперь рассмотрим числитель 1 + tg(x/2). Неравенство (1 + tg(x/2)) < 0 будет выполняться, когда tg(x/2) < -1.

Шаг 3: Определение условия для tg(x/2)

tg(x/2) < -1 означает, что угол x/2 должен находиться в определённом интервале. Мы знаем, что тангенс отрицателен в 2-ом и 4-ом квадрантах. Для того чтобы tg(x/2) < -1, x/2 должно находиться в интервале:

• (π/2 + kπ, π + kπ), где k - целое число.

Это можно переписать как:

• π/2 + kπ < x/2 < π + kπ.

Умножив все части неравенства на 2, получаем:

• π + 2kπ < x < 2π + 2kπ.

Шаг 4: Нахождение натурального решения

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное значение x, которое удовлетворяет этому неравенству. Подставляя k = 0, мы получаем:

• π < x < 2π.

Так как π примерно равно 3.14, это неравенство означает, что x должен быть больше 3.14 и меньше 6.28. Таким образом, наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет этому условию, это 4.

Ответ:

Наименьшее натуральное решение неравенства (1 + tg(x/2)) / (2 + sin x) < 0 равно 4.