Как можно определить общую точку у парабол, заданных семейством квадратичных функций f(x) = -x^2 + px + q, при условии, что p + q = 2015? Какое значение будет у произведения координат найденной точки (Xo; Yo), то есть Xo * Yo?

Алгебра 9 класс Параболы и их свойства определение общей точки парабол квадратичные функции f(x) = -x^2 + px + q произведение координат точки p + q = 2015 Новый

Чтобы определить общую точку у парабол, заданных семейством квадратичных функций f(x) = -x^2 + px + q, при условии, что p + q = 2015, нам нужно рассмотреть, как связаны параметры p и q с координатами точки пересечения парабол.

1. Запишем уравнение функции:

• f(x) = -x^2 + px + q

2. Подставим условие p + q = 2015:

• Мы можем выразить q через p: q = 2015 - p.

3. Подставим q в уравнение функции:

• f(x) = -x^2 + px + (2015 - p)
• f(x) = -x^2 + px + 2015 - p.

4. Теперь найдем координаты точки пересечения:

• Чтобы найти общую точку, нам нужно рассмотреть производную функции и найти ее максимум, так как парабола открыта вниз.
• Найдем координату Xo, при которой производная равна нулю:

5. Производная функции:

• f'(x) = -2x + p.
• Приравняем производную к нулю: -2x + p = 0.
• Отсюда Xo = p/2.

6. Теперь найдем Yo, подставив Xo в функцию:

• f(Xo) = - (p/2)^2 + p(p/2) + (2015 - p).
• f(Xo) = -p^2/4 + p^2/2 + 2015 - p.
• f(Xo) = p^2/4 + 2015 - p.

7. Теперь нам нужно найти произведение Xo * Yo:

• Xo * Yo = (p/2) * (p^2/4 + 2015 - p).

8. Однако, чтобы найти конкретное значение произведения, мы можем заметить, что:

• При p = 2015, q = 0, мы получаем точку (1007.5, 1007.5^2), которая является общей точкой для всех p и q, удовлетворяющих условию p + q = 2015.

9. Теперь подставим p = 2015:

• Xo = 2015/2 = 1007.5.
• Yo = f(1007.5) = - (1007.5)^2 + 2015 * 1007.5.

10. Таким образом, произведение будет:

• Xo * Yo = 1007.5 * (2015 * 1007.5 - (1007.5)^2).

11. В итоге, произведение координат найденной точки (Xo; Yo) равно:

• Xo * Yo = 1007.5 * (2015 * 1007.5 - (1007.5)^2) = 1007.5 * 1007.5 * 1007.5 = 1007.5^3.

Таким образом, значение произведения координат найденной точки (Xo; Yo) можно выразить как 1007.5^3.