При каких значениях m вершины парабол У=X в квадрате - 4mX+m и У=X в квадрате +8mX+4 расположены по одну сторону оси Х?

Алгебра 9 класс Параболы и их свойства значения m вершины парабол У=X в квадрате расположены по одну сторону ось Х алгебра 9 класс Новый

Чтобы определить, при каких значениях m вершины парабол y = x^2 - 4mx + m и y = x^2 + 8mx + 4 расположены по одну сторону оси Х, нам нужно найти координаты вершин этих парабол и проанализировать их положения относительно оси Х.

Вершина параболы задается формулой:

x_0 = -b/(2a)

где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.

Рассмотрим первую параболу:

• Для y = x^2 - 4mx + m:
• Коэффициент a = 1, b = -4m.
• Находим координату x вершины:
• x_1 = -(-4m)/(2*1) = 2m.
• Теперь подставим x_1 в уравнение, чтобы найти y_1:
• y_1 = (2m)^2 - 4m(2m) + m = 4m^2 - 8m^2 + m = -4m^2 + m.

Теперь рассмотрим вторую параболу:

• Для y = x^2 + 8mx + 4:
• Коэффициент a = 1, b = 8m.
• Находим координату x вершины:
• x_2 = -8m/(2*1) = -4m.
• Теперь подставим x_2 в уравнение, чтобы найти y_2:
• y_2 = (-4m)^2 + 8m(-4m) + 4 = 16m^2 - 32m^2 + 4 = -16m^2 + 4.

Теперь у нас есть координаты вершин:

• Первая парабола: (2m, -4m^2 + m)
• Вторая парабола: (-4m, -16m^2 + 4)

Чтобы вершины обеих парабол находились по одну сторону оси Х, необходимо, чтобы обе y-координаты были либо положительными, либо отрицательными. Рассмотрим оба случая:

1. Оба значения y_1 и y_2 должны быть положительными:

• -4m^2 + m > 0
• -16m^2 + 4 > 0

Решим неравенства:

• Первое неравенство: m(1 - 4m) > 0
• Это выполняется при m < 0 или m > 1/4.
• Второе неравенство: -16m^2 + 4 > 0 или 16m^2 < 4, что дает -1/2 < m < 1/2.

Объединяя условия, получаем:

• m < 0 и m > 1/4 не пересекаются, поэтому этот случай не подходит.
• 0 < m < 1/4 подходит.

2. Оба значения y_1 и y_2 должны быть отрицательными:

• -4m^2 + m < 0
• -16m^2 + 4 < 0

Решим неравенства:

• Первое неравенство: m(1 - 4m) < 0 выполняется при 0 < m < 1/4.
• Второе неравенство: -16m^2 + 4 < 0 дает m < -1/2 или m > 1/2.

Таким образом, для второго случая у нас нет пересечений.

Итак, подводя итог, вершины обеих парабол будут находиться по одну сторону оси Х при значениях:

• 0 < m < 1/4.