Давайте разберем каждую из задач по порядку.

1) а) Как определить значение выражения cos π + ctg 4π/3?

1. Сначала найдем значение cos π. Известно, что cos π = -1.
2. Теперь найдем значение ctg 4π/3. Для этого вспомним, что ctg x = 1/tan x. Сначала найдем tan 4π/3.
3. 4π/3 находится в третьем квадранте, где тангенс положителен. Значение tan 4π/3 = tan(π + π/3) = tan(π/3) = √3.
4. Следовательно, ctg 4π/3 = 1/tan 4π/3 = 1/√3.
5. Теперь подставим найденные значения в выражение: cos π + ctg 4π/3 = -1 + 1/√3.
6. Чтобы привести к общему знаменателю, можно записать -1 как -√3/√3. Таким образом, -√3/√3 + 1/√3 = (-√3 + 1)/√3.

Ответ: cos π + ctg 4π/3 = (-√3 + 1)/√3.

1) б) Как вычислить tg(-11π/6)?

1. Для вычисления тангенса отрицательного угла используем свойство: tg(-x) = -tg(x). Таким образом, tg(-11π/6) = -tg(11π/6).
2. Теперь найдем значение tg(11π/6). Угол 11π/6 находится в четвертом квадранте. В этом квадранте тангенс отрицателен.
3. tg(11π/6) = tg(2π - π/6) = -tg(π/6) = -1/√3.
4. Следовательно, tg(-11π/6) = -(-1/√3) = 1/√3.

Ответ: tg(-11π/6) = 1/√3.

2) а) Если cos t = 1/2, как можно найти sin t?

1. Используем основное тригонометрическое тождество: sin²t + cos²t = 1.
2. Подставим значение cos t: sin²t + (1/2)² = 1.
3. sin²t + 1/4 = 1.
4. Теперь вычтем 1/4 из обеих сторон: sin²t = 1 - 1/4 = 3/4.
5. Теперь извлечем корень: sin t = ±√(3/4) = ±√3/2.

Ответ: sin t = ±√3/2.

2) Как рассчитать cos(π/2 + t)?

1. Используем формулу для косинуса суммы углов: cos(a + b) = cos a * cos b - sin a * sin b.
2. Подставим значения: cos(π/2 + t) = cos(π/2) * cos(t) - sin(π/2) * sin(t).
3. Знаем, что cos(π/2) = 0 и sin(π/2) = 1. Поэтому: cos(π/2 + t) = 0 * cos(t) - 1 * sin(t) = -sin(t).

Ответ: cos(π/2 + t) = -sin(t).

2) Как определить sin(π/2 + t)?

1. Используем формулу для синуса суммы углов: sin(a + b) = sin a * cos b + cos a * sin b.
2. Подставим значения: sin(π/2 + t) = sin(π/2) * cos(t) + cos(π/2) * sin(t).
3. Знаем, что sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0. Поэтому: sin(π/2 + t) = 1 * cos(t) + 0 * sin(t) = cos(t).

Ответ: sin(π/2 + t) = cos(t).