Как найти интеграл xdx/(x^2-1) и объяснить, откуда появляется 1/2 в решении?

Алгебра 9 класс Интегралы интеграл xdx/(x^2-1) объяснение 1/2 алгебра 9 класс нахождение интеграла методы интегрирования Новый

Чтобы найти интеграл ∫ x dx / (x² - 1), мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям или разложением на простейшие дроби. В данном случае, давайте используем разложение на простейшие дроби.

Сначала заметим, что знаменатель можно разложить:

• x² - 1 = (x - 1)(x + 1).

Теперь мы можем представить дробь x / (x² - 1) в виде суммы простейших дробей. Мы можем записать:

x / (x² - 1) = A / (x - 1) + B / (x + 1),

где A и B — это константы, которые мы должны определить.

Умножим обе стороны уравнения на (x² - 1), чтобы избавиться от знаменателя:

x = A(x + 1) + B(x - 1).

Теперь раскроем скобки:

x = Ax + A + Bx - B.

Объединим подобные слагаемые:

x = (A + B)x + (A - B).

Теперь мы можем сопоставить коэффициенты. Сравнивая коэффициенты перед x и свободные члены, получаем систему уравнений:

• A + B = 1 (коэффициент перед x),
• A - B = 0 (свободный член).

Решим эту систему. Из второго уравнения A - B = 0 следует, что A = B. Подставим это значение в первое уравнение:

2A = 1,

A = 1/2,

B = 1/2.

Теперь мы можем записать исходный интеграл:

∫ x dx / (x² - 1) = ∫ (1/2) / (x - 1) dx + ∫ (1/2) / (x + 1) dx.

Теперь интегрируем каждую часть:

• ∫ (1/2) / (x - 1) dx = (1/2) ln |x - 1| + C₁,
• ∫ (1/2) / (x + 1) dx = (1/2) ln |x + 1| + C₂.

Объединим результаты:

∫ x dx / (x² - 1) = (1/2) ln |x - 1| + (1/2) ln |x + 1| + C.

Используя свойства логарифмов, мы можем объединить логарифмы:

(1/2) ln |x - 1| + (1/2) ln |x + 1| = (1/2) ln |(x - 1)(x + 1)|.

Таким образом, окончательный ответ:

∫ x dx / (x² - 1) = (1/2) ln |(x - 1)(x + 1)| + C.

Итак, 1/2 появляется в результате разложения на простейшие дроби, где мы нашли, что A и B равны 1/2. Это и есть причина, по которой в интеграле появляется множитель 1/2.