Как решить пример (2x+3)dx/(x-2)*(x+5)?

Алгебра 9 класс Интегралы решение примера алгебра 9 класс интегралы (2x+3)dx дробные функции математические примеры Новый

Чтобы решить интеграл (2x + 3)dx / ((x - 2)(x + 5)), нам нужно использовать метод разложения на простейшие дроби. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Запишем интеграл:

   Итак, у нас есть интеграл:

   ∫ (2x + 3)dx / ((x - 2)(x + 5))

2. Разложим дробь на простейшие:

   Мы можем представить дробь в виде:

   A / (x - 2) + B / (x + 5),

   где A и B - это константы, которые нам нужно найти.

3. Составим уравнение:

   Умножим обе части на (x - 2)(x + 5), чтобы избавиться от знаменателей:

   2x + 3 = A(x + 5) + B(x - 2).

4. Раскроем скобки:

   Получаем:

   2x + 3 = Ax + 5A + Bx - 2B.

   Соберем подобные члены:

   2x + 3 = (A + B)x + (5A - 2B).

5. Приравняем коэффициенты:
   • Для коэффициента при x: A + B = 2
   • Для свободного члена: 5A - 2B = 3
6. Решим систему уравнений:
   1. Из первого уравнения выразим B: B = 2 - A.
   2. Подставим B во второе уравнение:

   5A - 2(2 - A) = 3.

   3. Упростим:

   5A - 4 + 2A = 3.

   7A - 4 = 3.

   7A = 7.

   A = 1.

   4. Теперь подставим A в первое уравнение:

   1 + B = 2, следовательно, B = 1.

7. Теперь можем записать разложение:

   Мы получили:

   (2x + 3) / ((x - 2)(x + 5)) = 1 / (x - 2) + 1 / (x + 5).

8. Теперь интегрируем:

   Теперь мы можем интегрировать каждую часть:

   ∫ (1 / (x - 2)) dx + ∫ (1 / (x + 5)) dx.

   Результаты интегрирования:

   • ∫ (1 / (x - 2)) dx = ln|x - 2| + C1
   • ∫ (1 / (x + 5)) dx = ln|x + 5| + C2
9. Соберем окончательный ответ:

   Итак, окончательный ответ будет:

   ln|x - 2| + ln|x + 5| + C,

   где C = C1 + C2 - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, мы успешно решили интеграл.