Как найти критические точки и экстремумы функции:

y = (x^2 - 2x + 1) / (x^2 + x - 2)

Алгебра 9 класс Экстремумы функций критические точки экстремумы функции алгебра 9 класс нахождение экстремумов анализ функции дробно-рациональная функция Новый

Чтобы найти критические точки и экстремумы функции y = (x^2 - 2x + 1) / (x^2 + x - 2), нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберемся, как это сделать.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для начала, нам нужно найти производную функции y. Мы будем использовать правило деления производных:

• Если у нас есть функция вида y = u/v, то производная y' = (u'v - uv') / v^2, где u и v - числитель и знаменатель соответственно.

В нашем случае:

• u = x^2 - 2x + 1
• v = x^2 + x - 2

Теперь находим производные u' и v':

• u' = 2x - 2
• v' = 2x + 1

Теперь подставим все в формулу для производной:

y' = [(2x - 2)(x^2 + x - 2) - (x^2 - 2x + 1)(2x + 1)] / (x^2 + x - 2)^2

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для этого мы сначала приравняем числитель к нулю:

0 = (2x - 2)(x^2 + x - 2) - (x^2 - 2x + 1)(2x + 1)

Теперь решим это уравнение. Это может потребовать алгебраических преобразований и упрощений. После нахождения корней уравнения мы получим значения x, которые являются критическими точками.

Шаг 3: Определим, есть ли экстремумы

Чтобы выяснить, являются ли критические точки максимумами или минимумами, мы можем использовать второй производный тест или анализировать знак первой производной в окрестности критических точек.

• Если y' меняет знак с положительного на отрицательное, то в этой точке максимум.
• Если y' меняет знак с отрицательного на положительное, то в этой точке минимум.
• Если y' не меняет знак, то это не экстремум.

Шаг 4: Подведем итоги

После нахождения критических точек и анализа их поведения, вы сможете определить, где функция достигает своих экстремумов. Не забудьте также проверить, существуют ли точки, в которых производная не существует, так как они также могут быть критическими точками.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете найти критические точки и экстремумы данной функции.