Какое наименьшее значение принимает функция y = √x - 3 - |x + 1|?

Алгебра 9 класс Экстремумы функций наименьшее значение функции функция y = √x - 3 |x + 1| алгебра 9 класс решение уравнений график функции анализ функции Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = √x - 3 - |x + 1|, давайте разберем её по частям.

1. **Определим область определения функции.**

• Сначала рассмотрим √x. Эта функция определена только для x ≥ 0.
• Теперь рассмотрим |x + 1|. Эта функция определена для всех x.

Таким образом, область определения всей функции y = √x - 3 - |x + 1| будет x ≥ 0.

2. **Разделим функцию на два случая, чтобы упростить работу с модулем.**

• Случай 1: x + 1 ≥ 0 (то есть x ≥ -1). В этом случае |x + 1| = x + 1.
• Случай 2: x + 1 < 0 (то есть x < -1). Но так как x ≥ 0, этот случай не применим.

Таким образом, для x ≥ 0 мы имеем:

y = √x - 3 - (x + 1) = √x - x - 4.

3. **Теперь найдем производную функции y и найдем критические точки.**

y' = (1/2) * x^(-1/2) - 1.

Приравняем производную к нулю:

(1/2) * x^(-1/2) - 1 = 0.

Решим это уравнение:

(1/2) * x^(-1/2) = 1

x^(-1/2) = 2

x^(1/2) = 1/2

x = 1/4.

4. **Теперь проверим, находится ли эта точка в области определения.**

Поскольку 1/4 ≥ 0, то эта точка допустима.

5. **Теперь найдем значение функции в этой критической точке:**

y(1/4) = √(1/4) - (1/4) - 4 = 1/2 - 1/4 - 4 = 1/4 - 4 = -15/4.

6. **Проверим значение функции на границе области определения, то есть при x = 0:**

y(0) = √0 - 0 - 4 = -4.

7. **Сравним значения:**

• y(1/4) = -15/4 = -3.75.
• y(0) = -4.

Таким образом, наименьшее значение функции y = √x - 3 - |x + 1| достигается при x = 0 и равно -4.

Ответ: Наименьшее значение функции равно -4.