Как определить экстремумы функции f(x)=(6-3x)√x?

Алгебра 9 класс Экстремумы функций экстремумы функции определение экстремумов f(x)=(6-3x)√x алгебра 9 класс нахождение максимумов и минимумов Новый

Чтобы определить экстремумы функции f(x) = (6 - 3x)√x, необходимо выполнить несколько шагов. Экстремумы функции находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте рассмотрим процесс пошагово.

1. Найти производную функции.

Для начала, нам нужно найти производную f(x). Мы можем использовать правило произведения, так как функция состоит из двух множителей: (6 - 3x) и √x.

Пусть u = (6 - 3x) и v = √x. Тогда производная f(x) будет равна:

f'(x) = u'v + uv',

где u' - производная u, а v' - производная v.

• u' = -3 (производная от 6 - 3x)
• v' = 1/(2√x) (производная от √x)

Теперь подставим u, u', v и v' в формулу:

f'(x) = (-3)√x + (6 - 3x)(1/(2√x)).

Упрощаем производную:

f'(x) = -3√x + (6 - 3x)/(2√x).

2. Привести к общему знаменателю.

Чтобы упростить выражение, приведем его к общему знаменателю:

f'(x) = (-3√x * 2√x + (6 - 3x))/(2√x) = (-6x + 6 - 3x)/(2√x) = (6 - 9x)/(2√x).

3. Найти точки, где производная равна нулю.

Теперь мы можем найти точки, где f'(x) = 0:

(6 - 9x)/(2√x) = 0.

Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

6 - 9x = 0.

Решаем это уравнение:

9x = 6 → x = 2/3.

4. Проверить, где производная не существует.

Также необходимо проверить, где производная не существует. В данном случае это происходит, когда √x = 0, то есть x = 0.

5. Определить интервалы для нахождения экстремумов.

Теперь у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 2/3. Следующий шаг — определить, где функция возрастает или убывает.

Для этого исследуем знак производной на интервалах:

• Интервал (-∞, 0): f'(x) < 0 (производная не существует в x=0).
• Интервал (0, 2/3): подставим, например, x = 1, получаем f'(1) > 0.
• Интервал (2/3, +∞): подставим, например, x = 1,5, получаем f'(1.5) < 0.
6. Определить тип экстремумов.

На основе анализа производной:

• На интервале (0, 2/3) функция возрастает, а в (2/3, +∞) убывает, значит, в точке x = 2/3 у нас максимум.
• В точке x = 0 функция имеет минимум, так как она не определена слева от этой точки и начинается с нуля.

Таким образом, мы определили, что функция имеет максимум в точке x = 2/3 и минимум в точке x = 0.