Как определить промежутки, на которых функция y=-x3+9x2+21x возрастает и убывает?

Алгебра 9 класс Анализ функций промежутки функции функция y=-x^3+9x^2+21x возрастает и убывает алгебра 9 класс анализ функции Новый

Чтобы определить промежутки, на которых функция y = -x³ + 9x² + 21x возрастает и убывает, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

   Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении переменной x. Для функции y = -x³ + 9x² + 21x производная будет:

   y' = -3x² + 18x + 21.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Для этого мы решим уравнение:

   -3x² + 18x + 21 = 0.

   Упростим уравнение, разделив все его части на -3:

   x² - 6x - 7 = 0.

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

   x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -6, c = -7.

   Подставляем значения:

   x = (6 ± √((-6)² - 4 * 1 * (-7))) / (2 * 1) = (6 ± √(36 + 28)) / 2 = (6 ± √64) / 2 = (6 ± 8) / 2.

   Таким образом, мы получаем два корня:

   • x₁ = (6 + 8) / 2 = 7;
   • x₂ = (6 - 8) / 2 = -1.
3. Определить знаки производной на промежутках.

   Теперь нам нужно проверить знаки производной на промежутках, которые определяются критическими точками -1 и 7. Мы рассмотрим три интервала:

   • (-∞, -1);
   • (-1, 7);
   • (7, +∞).

   Теперь подберем тестовые точки для каждого интервала:

   • Для интервала (-∞, -1), например, точка x = -2:

   y'(-2) = -3(-2)² + 18(-2) + 21 = -3*4 - 36 + 21 = -12 - 36 + 21 = -27 (производная отрицательна).

   • Для интервала (-1, 7), например, точка x = 0:

   y'(0) = -3(0)² + 18(0) + 21 = 21 (производная положительна).

   • Для интервала (7, +∞), например, точка x = 8:

   y'(8) = -3(8)² + 18(8) + 21 = -192 + 144 + 21 = -27 (производная отрицательна).

4. Сделать выводы о возрастании и убывании функции.

   На основании знаков производной мы можем сделать следующие выводы:

   • Функция убывает на интервале (-∞, -1);
   • Функция возрастает на интервале (-1, 7);
   • Функция убывает на интервале (7, +∞).

Таким образом, функция y = -x³ + 9x² + 21x возрастает на промежутке (-1, 7) и убывает на промежутках (-∞, -1) и (7, +∞).