Для функции f(x) = (1/2) x^4 - 8 x^2 давайте определим основные характеристики, такие как область определения, множество значений, нули функции и промежутки знакопостоянства. Рассмотрим каждый из этих пунктов по порядку.

Область определения функции - это все значения x, для которых функция f(x) имеет смысл. В данном случае, поскольку это полином четвёртой степени, он определён для всех действительных чисел. Таким образом:

• Область определения: R (все действительные числа).

Нули функции - это значения x, при которых f(x) = 0. Чтобы найти нули, решим уравнение:

1. f(x) = (1/2) x^4 - 8 x^2 = 0.
2. Выносим общий множитель: (1/2) x^2 (x^2 - 16) = 0.
3. Решаем уравнение: (1/2) x^2 = 0 или x^2 - 16 = 0.
4. Первое уравнение даёт x = 0.
5. Второе уравнение даёт x^2 = 16, то есть x = ±4.

Таким образом, нули функции:

• x = 0, x = 4, x = -4.

Чтобы определить множество значений, проанализируем поведение функции. Заметим, что функция является четной (f(-x) = f(x)),и её график симметричен относительно оси y. Также отметим, что при больших значениях |x|, функция f(x) стремится к +∞, так как ведущий член (1/2) x^4 доминирует. Найдём минимум функции, чтобы определить, какое значение она может принимать:

1. Находим производную: f'(x) = 2x^3 - 8x.
2. Приравниваем производную к нулю: 2x(x^2 - 4) = 0.
3. Решаем: x = 0, x = 2, x = -2.
4. Находим значение функции в этих точках: f(0) = 0, f(2) = (1/2) * 16 - 32 = -16, f(-2) = f(2) = -16.

Таким образом, минимальное значение функции равно -16. Следовательно, множество значений:

• Множество значений: [-16, +∞).

Теперь определим промежутки, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Для этого используем нули функции и анализируем знаки на промежутках:

1. Нули функции: x = -4, x = -2, x = 0, x = 2, x = 4.
2. Рассмотрим промежутки: (-∞, -4),(-4, -2),(-2, 0),(0, 2),(2, 4),(4, +∞).
3. Подставим тестовые значения из каждого промежутка в производную f'(x) для определения знака:
• (-∞, -4): например, x = -5 → f'(-5) > 0 (возрастает).
• (-4, -2): например, x = -3 → f'(-3) < 0 (убывает).
• (-2, 0): например, x = -1 → f'(-1) < 0 (убывает).
• (0, 2): например, x = 1 → f'(1) > 0 (возрастает).
• (2, 4): например, x = 3 → f'(3) < 0 (убывает).
• (4, +∞): например, x = 5 → f'(5) > 0 (возрастает).

Таким образом, знаки функции:

• f(x) > 0 на промежутках: (-4, -2) и (2, 4).
• f(x) < 0 на промежутках: (-∞, -4),(-2, 2),(4, +∞).

Теперь у нас есть все необходимые характеристики функции f(x) = (1/2) x^4 - 8 x^2:

• Область определения: R.
• Нули функции: x = -4, 0, 4.
• Множество значений: [-16, +∞).
• Промежутки знакопостоянства: f(x) > 0 на (-4, -2) и (2, 4); f(x) < 0 на (-∞, -4),(-2, 2),(4, +∞).