Как решить неравенство 1/((x-2)(x-3)) + 1/((x-2)(x-4)) + 1/(x в квадрате - 7x + 12) <= 1?

Алгебра 9 класс Неравенства рациональных функций решение неравенства алгебра 9 класс неравенства с дробями алгебраические выражения математические неравенства дроби и неравенства решение неравенств сложные неравенства алгебраические задачи математические решения Новый

Для решения неравенства, которое вы привели, начнем с упрощения левой части. Давайте сначала упростим выражение:

Мы видим, что в выражении есть несколько дробей, и нам нужно их объединить. Первое, что стоит заметить, это то, что знаменатели всех дробей имеют общие множители.

Шаг 1: Найдем общий знаменатель

Знаменатели дробей:

• 1/((x-2)(x-3))
• 1/((x-2)(x-4))
• 1/(x^2 - 7x + 12)

Факторизуем последний знаменатель:

x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)

Теперь у нас есть:

• 1/((x-2)(x-3))
• 1/((x-2)(x-4))
• 1/((x-3)(x-4))

Общий знаменатель будет: (x-2)(x-3)(x-4).

Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю

Теперь мы можем привести все дроби к этому общему знаменателю:

• 1/((x-2)(x-3)) = (x-4)/((x-2)(x-3)(x-4))
• 1/((x-2)(x-4)) = (x-3)/((x-2)(x-3)(x-4))
• 1/((x-3)(x-4)) = (x-2)/((x-2)(x-3)(x-4))

Шаг 3: Сложим дроби

Теперь складываем дроби:

(x-4 + x-3 + x-2) / ((x-2)(x-3)(x-4)) = (3x - 9) / ((x-2)(x-3)(x-4))

Шаг 4: Запишем неравенство

Теперь наше неравенство выглядит так:

(3x - 9) / ((x-2)(x-3)(x-4)) > 0

Шаг 5: Найдем нули числителя и знаменателя

• Числитель: 3x - 9 = 0 => x = 3
• Знаменатель: (x-2)(x-3)(x-4) = 0 => x = 2, x = 3, x = 4

Шаг 6: Определим интервалы

Теперь у нас есть критические точки: x = 2, x = 3, x = 4. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы:

• (-∞, 2)
• (2, 3)
• (3, 4)
• (4, +∞)

Шаг 7: Проверим знаки на каждом интервале

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение (3x - 9) / ((x-2)(x-3)(x-4)):

• Для x = 1: (3*1 - 9) / ((1-2)(1-3)(1-4)) < 0
• Для x = 2.5: (3*2.5 - 9) / ((2.5-2)(2.5-3)(2.5-4)) > 0
• Для x = 3.5: (3*3.5 - 9) / ((3.5-2)(3.5-3)(3.5-4)) < 0
• Для x = 5: (3*5 - 9) / ((5-2)(5-3)(5-4)) > 0

Шаг 8: Запишем ответ

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

(2, 3) и (4, +∞).

Не забудьте, что точки x = 2, x = 3 и x = 4 являются точками разрыва и не входят в решение.

Ответ: x ∈ (2, 3) ∪ (4, +∞).