Как решить неравенство: |2 - (x² + x - 7) / (x - 2)| + |2 - (x² - x - 3) / (x - 2)| ≤ 4?

Алгебра 9 класс Неравенства с модулями решить неравенство алгебра 9 класс модуль неравенства квадратные выражения математические операции Новый

Для решения неравенства |2 - (x² + x - 7) / (x - 2)| + |2 - (x² - x - 3) / (x - 2)| ≤ 4 начнем с упрощения выражений внутри модулей.

Первое, что мы сделаем, это упростим каждое из выражений:

1. Рассмотрим первое выражение: 2 - (x² + x - 7) / (x - 2).
• Приведем к общему знаменателю: 2 = (2(x - 2)) / (x - 2) = (2x - 4) / (x - 2).
• Теперь можем записать: (2x - 4 - (x² + x - 7)) / (x - 2).
• Упрощаем числитель: 2x - 4 - x² - x + 7 = -x² + x + 3.
• Итак, первое выражение можно записать как: |(-x² + x + 3) / (x - 2)|.
2. Теперь рассмотрим второе выражение: 2 - (x² - x - 3) / (x - 2).
• Аналогично, приводим к общему знаменателю: 2 = (2(x - 2)) / (x - 2) = (2x - 4) / (x - 2).
• Записываем: (2x - 4 - (x² - x - 3)) / (x - 2).
• Упрощаем числитель: 2x - 4 - x² + x + 3 = -x² + 3x - 1.
• Следовательно, второе выражение можно записать как: |(-x² + 3x - 1) / (x - 2)|.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в неравенство:

|(-x² + x + 3) / (x - 2)| + |(-x² + 3x - 1) / (x - 2)| ≤ 4.

Объединим модульные выражения:

|(-x² + x + 3 + -x² + 3x - 1) / (x - 2)| ≤ 4.

Это упрощается до:

|(-2x² + 4x + 2) / (x - 2)| ≤ 4.

Теперь, чтобы избавиться от модуля, рассмотрим два случая:

1. (-2x² + 4x + 2) / (x - 2) ≤ 4
2. (-2x² + 4x + 2) / (x - 2) ≥ -4

Решим первое неравенство:

-2x² + 4x + 2 ≤ 4(x - 2).

Раскроем скобки:

-2x² + 4x + 2 ≤ 4x - 8.

Переносим все в одну сторону:

-2x² + 2 + 8 ≤ 0, что упрощается до -2x² + 10 ≤ 0.

Это можно переписать как 2x² - 10 ≥ 0, что дает x² ≥ 5 или x ≤ -√5 и x ≥ √5.

Теперь рассмотрим второе неравенство:

-2x² + 4x + 2 ≥ -4(x - 2).

Раскроем скобки:

-2x² + 4x + 2 ≥ -4x + 8.

Переносим все в одну сторону:

-2x² + 8x - 6 ≥ 0, что можно переписать как 2x² - 8x + 6 ≤ 0.

Решим это неравенство, используя дискриминант:

D = b² - 4ac = 64 - 48 = 16.

Корни: x = (8 ± 4) / 4, что дает x = 3 и x = 1.

Таким образом, 2x² - 8x + 6 ≤ 0 выполняется на промежутке [1, 3].

Теперь объединим результаты:

Из первого неравенства мы получили: x ≤ -√5 или x ≥ √5.

Из второго: [1, 3].

Таким образом, окончательный ответ будет: x ∈ (-∞, -√5] ∪ [1, 3] ∪ [√5, +∞).