Как решить уравнение (x^2-4)|x|+3=0, используя введение новой переменной? Пожалуйста, опишите все шаги как можно подробнее!

Алгебра 9 класс Уравнения с модулем решение уравнения введение новой переменной шаги решения уравнения алгебра 9 класс уравнение с модулем x^2-4 |x| подробное объяснение математические методы алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение (x^2 - 4)|x| + 3 = 0, мы можем использовать введение новой переменной. Давайте подробно разберем шаги решения.

Шаг 1: Анализ уравнения

Уравнение состоит из двух частей: (x^2 - 4) и |x|. Поскольку |x| всегда неотрицательно, то (x^2 - 4)|x| может быть равно нулю только в двух случаях:

• (x^2 - 4) = 0 и |x| ≠ 0,
• |x| = 0, но в этом случае (x^2 - 4) может быть любым значением.

Шаг 2: Введение новой переменной

Давайте введем новую переменную: пусть y = |x|. Таким образом, у нас получится следующее уравнение:

(x^2 - 4)y + 3 = 0.

Шаг 3: Перепишем уравнение в зависимости от y

Теперь мы можем выразить y через x:

• y = |x|,
• x^2 = y^2 (так как y = |x|).

Теперь подставим это в уравнение:

(y^2 - 4)y + 3 = 0.

Шаг 4: Преобразуем уравнение

Раскроем скобки:

y^3 - 4y + 3 = 0.

Шаг 5: Решение кубического уравнения

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение y^3 - 4y + 3 = 0. Для этого мы можем попробовать найти его корни, используя метод подбора. Попробуем подставить некоторые значения:

• y = 1: 1^3 - 4*1 + 3 = 0, значит y = 1 — корень.

Шаг 6: Деление на (y - 1)

Теперь мы можем разделить полином y^3 - 4y + 3 на (y - 1) с помощью деления многочленов или синтетического деления. После деления мы получим:

y^3 - 4y + 3 = (y - 1)(y^2 + y - 3).

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение y^2 + y - 3 = 0. Используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-3) = 1 + 12 = 13.

Теперь находим корни:

y = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √13) / 2.

Шаг 8: Полученные корни

Таким образом, у нас есть три корня:

• y1 = 1,
• y2 = (-1 + √13) / 2,
• y3 = (-1 - √13) / 2.

Шаг 9: Обратное преобразование и решение для x

Теперь вернемся к переменной x, помня, что y = |x|:

• Для y1 = 1: |x| = 1 → x = 1 или x = -1.
• Для y2 = (-1 + √13) / 2: |x| = (-1 + √13) / 2 → x = (-1 + √13) / 2 или x = -(-1 + √13) / 2.
• Для y3 = (-1 - √13) / 2: это значение отрицательное, поэтому |x| не может быть равно этому значению. Мы его отбрасываем.

Шаг 10: Итоговые решения

Таким образом, мы нашли все возможные значения x:

• x = 1,
• x = -1,
• x = (-1 + √13) / 2,
• x = -(-1 + √13) / 2.

Таким образом, уравнение (x^2 - 4)|x| + 3 = 0 имеет 4 решения.