Для решения задачи о нахождении площади фигуры, ограниченной заданными линиями, мы будем использовать интегрирование. Давайте рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Сначала найдем точки пересечения кривой y = 12x - 6x^2 с осью x (где y = 0):

• Для этого решим уравнение: 12x - 6x^2 = 0.
• Вынесем 6x: 6x(2 - x) = 0.
• Таким образом, получаем два корня: x = 0 и x = 2.

2. Теперь мы можем найти площадь, ограниченную данной кривой и осью x, с помощью интеграла:

• Площадь = ∫ от 0 до 2 (12x - 6x^2) dx.

3. Вычислим интеграл:

• ∫ (12x - 6x^2) dx = 6x^2 - 2x^3 + C.
• Теперь подставим пределы интегрирования:
• Площадь = [6(2^2) - 2(2^3)] - [6(0^2) - 2(0^3)] = [6*4 - 2*8] - [0] = 24 - 16 = 8.

Таким образом, площадь фигуры в части а) равна 8.

1. Найдем точки пересечения этой параболы с осью x:

• Решим уравнение: -x^2 + 4x - 3 = 0.
• Упростим: x^2 - 4x + 3 = 0.
• Формула корней: x = (4 ± √(16 - 12)) / 2 = (4 ± 2) / 2.
• Корни: x = 3 и x = 1.

2. Теперь найдем площадь, используя интеграл:

• Площадь = ∫ от 1 до 3 (-x^2 + 4x - 3) dx.

3. Вычислим интеграл:

• ∫ (-x^2 + 4x - 3) dx = -1/3 x^3 + 2x^2 - 3x + C.
• Теперь подставим пределы:
• Площадь = [(-1/3)(3^3) + 2(3^2) - 3(3)] - [(-1/3)(1^3) + 2(1^2) - 3(1)] = [(-9) + 18 - 9] - [(-1/3) + 2 - 3].
• Это будет: 0 - (-1/3 - 1) = 0 + 2/3 = 2/3.

Таким образом, площадь фигуры в части б) равна 2/3.

1. Для первой функции y = 12x - 3x^2 найдем точки пересечения с осью x:

• Решим уравнение: 12x - 3x^2 = 0.
• Вынесем 3x: 3x(4 - x) = 0.
• Корни: x = 0 и x = 4.

2. Для второй функции y = -x^2 + x + 2 также найдем точки пересечения с осью x:

• Решим уравнение: -x^2 + x + 2 = 0.
• Упростим: x^2 - x - 2 = 0.
• Формула корней: x = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± 3) / 2.
• Корни: x = 2 и x = -1.

3. Теперь найдем площадь, ограниченную этими двумя кривыми. Для этого определим, где они пересекаются:

• Решим уравнение: 12x - 3x^2 = -x^2 + x + 2.
• Переносим все в одну сторону: 3x^2 - 13x + 2 = 0.
• Корни: x = (13 ± √(169 - 24)) / 6 = (13 ± √145) / 6.

4. Площадь будет равна интегралу от меньшей функции до большей:

• Площадь = ∫ от x1 до x2 [(12x - 3x^2) - (-x^2 + x + 2)] dx.

5. Вычисляем интеграл и подставляем пределы, чтобы найти площадь.

Таким образом, мы нашли площади для всех указанных фигур. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными расчетами, пожалуйста, дайте знать!