Как можно вычислить производную функции f(x) = ln(cos^3(7x^4 - 3x^2 + x - 8))?

Алгебра Колледж Производные функций вычислить производную функция f(x) ln(cos^3) производная функции алгебра 12 математика производная ln cos^3 7x^4 3x^2 x 8 Новый

Чтобы вычислить производную функции f(x) = ln(cos^3(7x^4 - 3x^2 + x - 8)), нам нужно воспользоваться правилом производной сложной функции, а также некоторыми другими правилами. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Применение правила производной логарифма

Если у нас есть функция вида f(x) = ln(g(x)), то ее производная вычисляется по формуле:

• f'(x) = g'(x) / g(x)

В нашем случае g(x) = cos^3(7x^4 - 3x^2 + x - 8).

Шаг 2: Найдем производную g(x)

Теперь нам нужно найти производную g(x). Для этого используем правило производной степенной функции и правило производной композиции:

• g(x) = (cos(7x^4 - 3x^2 + x - 8))^3

По правилу производной степенной функции:

• g'(x) = 3 * (cos(7x^4 - 3x^2 + x - 8))^2 * (-sin(7x^4 - 3x^2 + x - 8)) * (7x^4 - 3x^2 + x - 8)'.

Шаг 3: Найдем производную внутренней функции

Теперь нам нужно найти производную внутренней функции 7x^4 - 3x^2 + x - 8:

• (7x^4 - 3x^2 + x - 8)' = 28x^3 - 6x + 1.

Шаг 4: Подставим все обратно в производную g'(x)

Теперь подставим найденные значения в выражение для g'(x):

• g'(x) = 3 * (cos(7x^4 - 3x^2 + x - 8))^2 * (-sin(7x^4 - 3x^2 + x - 8)) * (28x^3 - 6x + 1).

Шаг 5: Подставим g'(x) и g(x) в формулу производной f'(x)

Теперь, когда мы знаем g(x) и g'(x), можем подставить их в формулу для производной f(x):

• f'(x) = g'(x) / g(x).

Подставляем:

• f'(x) = [3 * (cos(7x^4 - 3x^2 + x - 8))^2 * (-sin(7x^4 - 3x^2 + x - 8)) * (28x^3 - 6x + 1)] / (cos^3(7x^4 - 3x^2 + x - 8)).

Шаг 6: Упростим выражение

Мы можем немного упростить это выражение:

• f'(x) = -3 * (28x^3 - 6x + 1) * tan(7x^4 - 3x^2 + x - 8) / (cos(7x^4 - 3x^2 + x - 8)).

Таким образом, мы нашли производную функции f(x).