Какова производная функции f(x)=(ax^2)^(ax^2)?

Алгебра Колледж Производные функций производная функции алгебра ax^2 f(x) вычисление производной Новый

Чтобы найти производную функции f(x) = (ax^2)^(ax^2), мы можем воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции и логарифмическим дифференцированием. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Логарифмирование функции: Начнем с того, что возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:
• ln(f(x)) = ln((ax^2)^(ax^2))
• Согласно свойствам логарифмов, мы можем вынести степень вперед:
• ln(f(x)) = ax^2 * ln(ax^2)
2. Применение производной: Теперь мы можем взять производную от обеих сторон по x:
• Используем правило производной логарифмической функции:
• (1/f(x)) * f'(x) = d/dx [ax^2 * ln(ax^2)]
3. Находим производную правой части: Здесь нам нужно использовать правило произведения:
• u = ax^2, v = ln(ax^2)
• Тогда производная будет: u'v + uv'
• u' = 2ax, v = ln(ax^2) = ln(a) + 2ln(x), v' = (1/x) * 2 = 2/x
• Теперь подставим:
• f'(x) = (2ax * ln(ax^2)) + (ax^2 * (2/x))
4. Подставляем обратно: Теперь мы можем выразить f'(x):
• f'(x) = f(x) * [(2ax * ln(ax^2)) + (2a)]
5. Итог: Таким образом, производная функции f(x) будет:
• f'(x) = (ax^2)^(ax^2) * [(2ax * ln(ax^2)) + (2a)]

Таким образом, мы нашли производную функции f(x) = (ax^2)^(ax^2).