Как вычислить производную функции: y = √(x³ + cosec(x³))?

Алгебра Колледж Производные функций вычислить производную функция алгебра производная y = √(x³ + cosec(x³)) математика правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции y = √(x³ + cosec(x³)), мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило производной сложной функции и производные основных функций. Давайте разберем шаги подробнее.

Шаг 1: Применение правила производной сложной функции

Функция y = √(u), где u = x³ + cosec(x³). Мы будем использовать правило производной для корня, которое гласит, что если y = √u, то dy/dx = (1/(2√u)) * (du/dx).

Шаг 2: Найдем производную u

Теперь найдем производную функции u = x³ + cosec(x³). Здесь мы будем использовать правило суммы и производные отдельных функций:

• Производная x³ равна 3x².
• Производная cosec(x) равна -cosec(x) * cot(x). Поэтому производная cosec(x³) будет -cosec(x³) * cot(x³) * (3x²) по цепному правилу.

Таким образом, производная u будет:

du/dx = 3x² - 3x² cosec(x³) cot(x³)

Шаг 3: Подставим du/dx в формулу для dy/dx

Теперь мы можем подставить найденное значение du/dx в формулу для dy/dx:

dy/dx = (1/(2√(x³ + cosec(x³)))) * (3x² - 3x² * cosec(x³) * cot(x³)).

Шаг 4: Упростим выражение

Теперь упростим это выражение:

dy/dx = (3x²(1 - cosec(x³) * cot(x³))) / (2√(x³ + cosec(x³))).

Итак, окончательный ответ для производной функции y = √(x³ + cosec(x³)) будет:

dy/dx = (3x²(1 - cosec(x³) * cot(x³))) / (2√(x³ + cosec(x³))).

Таким образом, мы нашли производную данной функции, следуя всем необходимым шагам и применяя правила дифференцирования.