Как найти интеграл функции x * arcsin(x) по переменной x?

Алгебра Колледж Интегралы и интегрирование интеграл функции x * arcsin(x) вычисление интеграла алгебра 12 класс методы интегрирования Новый

Чтобы найти интеграл функции x * arcsin(x) по переменной x, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Где:

• u - это функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv - это оставшаяся часть функции, которую мы интегрируем.

Теперь давайте выберем:

• u = arcsin(x) (тогда du = (1 / √(1 - x^2)) dx);
• dv = x dx (тогда v = (1/2)x^2).

Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

∫ x * arcsin(x) dx = (arcsin(x) * (1/2)x^2) - ∫ ((1/2)x^2 * (1 / √(1 - x^2))) dx

Теперь у нас есть два члена: первый - это (1/2)x^2 * arcsin(x), а второй - это интеграл, который мы должны вычислить:

∫ ((1/2)x^2 / √(1 - x^2)) dx

Для вычисления второго интеграла сделаем замену переменной. Пусть x = sin(t), тогда dx = cos(t) dt. Подставим это в интеграл:

∫ ((1/2)sin^2(t) / √(1 - sin^2(t))) cos(t) dt

Заметим, что √(1 - sin^2(t)) = cos(t), и тогда интеграл упрощается:

∫ (1/2)sin^2(t) dt

Теперь мы можем использовать формулу для интеграла sin^2(t): ∫ sin^2(t) dt = (1/2)t - (1/4)sin(2t) + C. Таким образом:

∫ (1/2)sin^2(t) dt = (1/4)t - (1/8)sin(2t) + C

Теперь вернемся к переменной x. Поскольку t = arcsin(x), мы подставим это обратно:

∫ x * arcsin(x) dx = (1/2)x^2 * arcsin(x) - (1/4)arcsin(x) + (1/8)x√(1 - x^2) + C

Таким образом, итоговый ответ:

∫ x * arcsin(x) dx = (1/2)x^2 * arcsin(x) - (1/4)arcsin(x) + (1/8)x√(1 - x^2) + C