2025-09-11 12:59:22
2. Пусть f(x) непрерывна на (-∞,+∞) и интеграл ∫a+∞ f(t) dt сходится при некотором a. Обязательно ли тогда для любого c имеет место ∫a+∞ f(t) dt = ∫ac f(t) dt + ∫c+∞ f(t) dt?
Алгебра Университет Неопределенный интеграл и его свойства интеграл непрерывная функция свойства интегралов алгебра пределы сходимость интеграла функции математический анализ вопрос по алгебре Новый
2025-09-11 12:59:33
Да, утверждение верно. Чтобы понять это, давайте разберем его по шагам.
Шаг 1: Понимание интегралов
- Интеграл ∫a+∞ f(t) dt представляет собой площадь под графиком функции f(t) от точки a до бесконечности.
- Интеграл ∫ac f(t) dt вычисляет площадь под графиком функции f(t) от a до c.
- Интеграл ∫c+∞ f(t) dt вычисляет площадь под графиком функции f(t) от c до бесконечности.
Шаг 2: Свойство интегралов
Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, если функция f(x) непрерывна на интервале [a, +∞), то:
∫a+∞ f(t) dt можно разбить на два интеграла:
∫a+∞ f(t) dt = ∫ac f(t) dt + ∫c+∞ f(t) dt.
Шаг 3: Обоснование
- Выбор точки c в интервале (a, +∞) позволяет разбить интеграл на две части: от a до c и от c до +∞.
- Так как f(x) непрерывна, обе части интеграла существуют и конечны.
- Поэтому, по свойству интегралов, сумма интегралов от a до c и от c до +∞ равна интегралу от a до +∞.
Шаг 4: Заключение
Таким образом, для любого c, находящегося в интервале (a, +∞), действительно выполняется равенство:
∫a+∞ f(t) dt = ∫ac f(t) dt + ∫c+∞ f(t) dt.
Это свойство интегралов является одним из основных в анализе и подтверждает, что интегралы можно разбивать на части в зависимости от выбранных границ интегрирования.