Давайте разберем определение предела функции более подробно. Мы будем говорить о том, что число A является пределом функции f(х) при x стремящемся к a. Это означает, что мы можем сделать значения функции f(х) произвольно близкими к A, если мы выберем x достаточно близким к a.

Определение предела можно записать следующим образом:

• ε (эпсилон) - это произвольно малое положительное число. Мы можем выбрать его настолько маленьким, насколько захотим.
• Δ (дельта) - это значение, которое мы будем искать. Оно зависит от выбранного ε и показывает, насколько близко мы должны подойти к a.

Теперь давайте детально рассмотрим, что означает это определение:

1. Для любого ε > 0 мы должны найти такое Δ > 0.
2. Это Δ должно быть выбрано так, чтобы для всех x, которые удовлетворяют условию 0 < |x - a| < Δ, выполнялось неравенство |f(x) - A| < ε.

Таким образом, если мы можем найти такое Δ для любого ε, то мы можем сказать, что предел функции f(х) при x стремящемся к a равен A.

Теперь давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять это определение:

Предположим, у нас есть функция f(x) = 2x, и мы хотим найти предел этой функции при x стремящемся к 3. В этом случае A = f(3) = 6.

• Выбираем ε = 0.1 (это произвольно малое число).
• Теперь нам нужно найти такое Δ, чтобы для всех x, удовлетворяющих 0 < |x - 3| < Δ, выполнялось |f(x) - 6| < 0.1.

Рассмотрим |f(x) - 6|:

• Мы имеем |2x - 6| = |2(x - 3)| = 2|x - 3|.

Теперь нам нужно, чтобы 2|x - 3| < 0.1. Это означает, что |x - 3| < 0.05.

Таким образом, мы можем выбрать Δ = 0.05. Теперь, если x находится в интервале (3 - 0.05, 3 + 0.05), то |f(x) - 6| будет меньше 0.1.

Это подтверждает, что предел функции f(x) = 2x при x стремящемся к 3 равен 6.

Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять определение предела функции!