Чтобы понять, когда функция является непрерывной в точке x₀, важно знать, что это означает. Функция называется непрерывной в точке, если она не имеет разрывов в этой точке. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут определить непрерывность функции в точке x₀.

Определение непрерывности функции в точке:

1. Проверка существования функции в точке: Функция должна быть определена в точке x₀. Это означает, что значение функции f(x₀) должно существовать.
2. Проверка существования предела: Предел функции при x, стремящемся к x₀, должен существовать. Это включает два условия:
   • Левосторонний предел: Предел функции, когда x стремится к x₀ слева, обозначается как lim(x→x₀-) f(x).
   • Правосторонний предел: Предел функции, когда x стремится к x₀ справа, обозначается как lim(x→x₀+) f(x).
3. Согласованность пределов и значения функции: Для того чтобы функция была непрерывной в точке x₀, значение функции в этой точке должно быть равно пределу функции в этой точке. То есть:
   • lim(x→x₀) f(x) = f(x₀),где lim(x→x₀) f(x) обозначает общий предел, который равен как левостороннему, так и правостороннему пределу.

Если все три условия выполняются, то мы можем утверждать, что функция является непрерывной в точке x₀. Это значит, что она непрерывна и слева, и справа в этой точке, что исключает наличие разрывов или скачков в значении функции.