Чтобы вычислить двойной интеграл ∫_0^2 dy ∫_0^1 (X² + 2Y)dx, мы будем следовать шагам, начиная с внутреннего интеграла.

1. Вычисляем внутренний интеграл:

   Внутренний интеграл имеет вид ∫_0^1 (X² + 2Y)dx. Мы можем разделить его на два интеграла:

   • ∫_0^1 X² dx
   • ∫_0^1 2Y dx
2. Вычисляем первый интеграл:

   Для первого интеграла ∫_0^1 X² dx мы используем формулу для интеграла:

   ∫X^n dx = X^(n+1)/(n+1) + C, где n = 2. Таким образом:

   ∫_0^1 X² dx = [X³/3]_0^1 = (1³/3) - (0³/3) = 1/3.

3. Вычисляем второй интеграл:

   Теперь вычислим второй интеграл ∫_0^1 2Y dx. Поскольку 2Y является константой относительно x, мы можем вынести его за знак интеграла:

   ∫_0^1 2Y dx = 2Y * ∫_0^1 dx = 2Y * [x]_0^1 = 2Y * (1 - 0) = 2Y.

4. Собираем результаты внутреннего интеграла:

   Теперь мы можем объединить результаты:

   ∫_0^1 (X² + 2Y) dx = 1/3 + 2Y.

5. Вычисляем внешний интеграл:

   Теперь подставим результат внутреннего интеграла в внешний интеграл:

   ∫_0^2 (1/3 + 2Y) dy.

   Разделим интеграл на два:

   • ∫_0^2 (1/3) dy
   • ∫_0^2 (2Y) dy
6. Вычисляем первый интеграл внешнего интеграла:

   ∫_0^2 (1/3) dy = (1/3) * [y]_0^2 = (1/3) * (2 - 0) = 2/3.

7. Вычисляем второй интеграл внешнего интеграла:

   ∫_0^2 (2Y) dy = 2 * ∫_0^2 Y dy = 2 * [Y²/2]_0^2 = 2 * (2²/2 - 0) = 2 * 2 = 4.

8. Собираем результаты внешнего интеграла:

   Теперь объединяем результаты:

   ∫_0^2 (1/3 + 2Y) dy = 2/3 + 4 = 4 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Таким образом, окончательный ответ:

∫_0^2 dy ∫_0^1 (X² + 2Y)dx = 14/3.