Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=0.
Решите это уравнение

• y = 2c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
• y = 3c₁eˣ + 2c₂ ⋅ xeˣ.
• y = c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.

Другие предметы Колледж Линейные дифференциальные уравнения второго порядка линейное дифференциальное уравнение высшая математика колледж решение уравнения Дифференциальные уравнения второй порядок математический анализ методы решения C1 C2 экспоненциальная функция Новый

Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, как в нашем случае, мы начнем с уравнения:

y'' - 4y' + 5y = 0

Первым шагом будет нахождение характеристического уравнения. Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид:

r² - 4r + 5 = 0

Теперь мы решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -4, c = 5.
• D = (-4)² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.

Так как дискриминант отрицательный (D < 0), это означает, что у нас будут комплексные корни. Мы можем найти корни с помощью формулы:

r = ( -b ± √D ) / 2a = ( 4 ± √(-4) ) / 2 = ( 4 ± 2i ) / 2 = 2 ± i.

Таким образом, корни равны:

r₁ = 2 + i, r₂ = 2 - i

Теперь мы можем записать общее решение нашего дифференциального уравнения. Общее решение имеет вид:

y(t) = e^(αt) (c₁ cos(βt) + c₂ sin(βt)),

где α - действительная часть корня, β - мнимая часть корня.

В нашем случае α = 2, β = 1, поэтому общее решение будет:

y(t) = e^(2t) (c₁ cos(t) + c₂ sin(t))

Теперь, если мы сравним это решение с вашими предложенными вариантами:

• y = 2c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ
• y = 3c₁eˣ + 2c₂ ⋅ xeˣ
• y = c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ

Мы видим, что ни один из предложенных вариантов не совпадает с нашим решением. Все предложенные варианты имеют вид eˣ, тогда как в нашем решении присутствует e^(2t). Это говорит о том, что предложенные варианты не являются решениями данного дифференциального уравнения.

Таким образом, общее решение данного уравнения записывается как:

y(t) = e^(2t) (c₁ cos(t) + c₂ sin(t))