Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, как в нашем случае, мы начнем с уравнения:

y'' - 4y' + 5y = 0

Первым шагом будет нахождение характеристического уравнения. Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид:

r² - 4r + 5 = 0

Теперь мы решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -4, c = 5.
• D = (-4)² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.

Так как дискриминант отрицательный (D < 0),это означает, что у нас будут комплексные корни. Мы можем найти корни с помощью формулы:

r = ( -b ± √D ) / 2a = ( 4 ± √(-4) ) / 2 = ( 4 ± 2i ) / 2 = 2 ± i.

Таким образом, корни равны:

r₁ = 2 + i, r₂ = 2 - i

Теперь мы можем записать общее решение нашего дифференциального уравнения. Общее решение имеет вид:

y(t) = e^(αt) (c₁ cos(βt) + c₂ sin(βt)),

где α - действительная часть корня, β - мнимая часть корня.

В нашем случае α = 2, β = 1, поэтому общее решение будет:

y(t) = e^(2t) (c₁ cos(t) + c₂ sin(t))

Теперь, если мы сравним это решение с вашими предложенными вариантами:

• y = 2c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ
• y = 3c₁eˣ + 2c₂ ⋅ xeˣ
• y = c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ

Мы видим, что ни один из предложенных вариантов не совпадает с нашим решением. Все предложенные варианты имеют вид eˣ, тогда как в нашем решении присутствует e^(2t). Это говорит о том, что предложенные варианты не являются решениями данного дифференциального уравнения.

Таким образом, общее решение данного уравнения записывается как:

y(t) = e^(2t) (c₁ cos(t) + c₂ sin(t))