Чтобы установить соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка, давайте рассмотрим каждую из ситуаций, в которых могут находиться корни уравнения.

• Ситуация A: k₁≠k₂

Когда корни характеристического уравнения различны, общее решение имеет вид:

Общее решение: D. y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)
• Ситуация B: k₁=k₂

Когда корни совпадают, общее решение имеет вид:

Общее решение: E. y = c₁eᵏˣ + c₂eᵏˣ

Здесь c₁ и c₂ - произвольные константы, а k - кратный корень.

• Ситуация C: k₁=k₂=a+ib

Когда корни имеют комплексную форму, общее решение будет представлено в виде:

Общее решение: F. y = e^(ax) ⋅ (c₁cosbx + c₂sinbx)

Здесь a - действительная часть корня, а b - мнимая часть.

Теперь, обобщая все вышесказанное, мы можем установить следующие соответствия:

• A. k₁≠k₂ → D. y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)
• B. k₁=k₂ → E. y = c₁eᵏˣ + c₂eᵏˣ
• C. k₁=k₂=a+ib → F. y = e^(ax) ⋅ (c₁cosbx + c₂sinbx)

Таким образом, мы установили соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка.