Решим линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y'' + y' - 2y = 0.

Для начала, мы найдем характеристическое уравнение, которое соответствует данному дифференциальному уравнению. Для этого заменим производные на переменные:

• y'' заменим на r²,
• y' заменим на r,
• y заменим на 1.

Таким образом, характеристическое уравнение будет выглядеть так:

r² + r - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1,
• b = 1,
• c = -2.

Подставим значения в формулу:

r = (-1 ± √(1² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

Посчитаем дискриминант:

1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

r = (-1 ± √9) / 2

Так как √9 = 3, получаем два корня:

• r1 = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1,
• r2 = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2.

Теперь, когда мы нашли корни характеристического уравнения, мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:

y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, а r1 и r2 - корни, которые мы нашли. Подставив значения r1 и r2, получаем:

y(t) = C1 * e^(1 * t) + C2 * e^(-2 * t)

Или, более компактно:

y(t) = C1 * e^t + C2 * e^(-2t)

Таким образом, общее решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

y(t) = C1 * e^t + C2 * e^(-2t)