Похожие вопросы
2025-09-15 19:41:11
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=0. Решите это уравнение
- y = 2c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
- y = 3c₁eˣ + 2c₂ ⋅ xeˣ.
- y = c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
Другие предметы Колледж Линейные дифференциальные уравнения второго порядка линейное дифференциальное уравнение уравнение второго порядка решение уравнения математика колледж Дифференциальные уравнения методы решения уравнений математические модели интегрирование уравнений характеристическое уравнение функции e^x
2025-09-15 19:41:24
Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' - 4y' + 5y = 0, нам нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение.
Характеристическое уравнение строится из данного дифференциального уравнения, заменяя y на e^(rt), где r - корень, который мы ищем. Подставим это в уравнение:
r² - 4r + 5 = 0.
Шаг 2: Решим характеристическое уравнение.
Используя формулу для решения квадратного уравнения, r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, подставим a = 1, b = -4, c = 5:
- Дискриминант: D = (-4)² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.
- Так как D < 0, корни будут комплексными: r₁,₂ = (4 ± √(-4)) / 2 = 2 ± i.
Шаг 3: Запишем общий вид решения.
Поскольку у нас есть комплексные корни, общее решение уравнения можно записать в виде:
y(t) = e^(αt)(C₁ cos(βt) + C₂ sin(βt)),
где α = 2, β = 1. Таким образом:
y(t) = e^(2t)(C₁ cos(t) + C₂ sin(t)).
Шаг 4: Приведем решение к требуемому виду.
Если нам нужно выразить решение в другом виде, мы можем использовать формулы Эйлера и преобразовать его:
y(t) = e^(2t)(C₁ (1/2)(e^(it) + e^(-it)) + C₂ (1/2i)(e^(it) - e^(-it))).
Однако, в данном случае, мы можем оставить его в виде, полученном на шаге 3.
Шаг 5: Сравнение с предложенными решениями.
Теперь давайте сравним наше общее решение с предложенными вариантами:
- y = 2c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
- y = 3c₁eˣ + 2c₂ ⋅ xeˣ.
- y = c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
Ни одно из предложенных решений не соответствует нашему решению y(t) = e^(2t)(C₁ cos(t) + C₂ sin(t)).
Вывод:
Таким образом, ни одно из предложенных решений не является верным для данного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Верное решение имеет вид, который мы получили на шаге 3.