Похожие вопросы
2025-08-25 01:21:35
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=0.
Решите это уравнение.
- y = c₁e²ˣcos5x + c₂e²ˣsin5x.
- y = c₁e²ˣcos3x + c₂e²ˣsin3x.
- y = c₁e²ˣcos2x + c₂e²ˣsin2x.
Другие предметы Колледж Линейные дифференциальные уравнения второго порядка линейное дифференциальное уравнение высшая математика решение уравнения колледж дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ методы решения математические задачи учебные материалы колледж высшая математика Новый
2025-08-25 01:21:46
Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида:
y'' - 4y' + 5y = 0
Мы будем использовать метод характеристического уравнения. Сначала запишем характеристическое уравнение, заменив y на e^(rx):
r² - 4r + 5 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- Дискриминант D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.
Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что у нас есть два комплексных корня. Находим корни:
- r₁,₂ = (4 ± √(-4)) / 2 = (4 ± 2i) / 2 = 2 ± i.
Комплексные корни r₁ = 2 + i и r₂ = 2 - i. Теперь мы можем записать общее решение данного уравнения. Для комплексных корней общего вида:
y = e^(αx)(c₁cos(βx) + c₂sin(βx))
где α - действительная часть корня, а β - мнимая часть.
В нашем случае:
- α = 2
- β = 1
Таким образом, общее решение будет выглядеть следующим образом:
y = e^(2x)(c₁cos(x) + c₂sin(x))
Теперь, если вы посмотрите на предложенные вами варианты решения:
- y = c₁e²ˣcos5x + c₂e²ˣsin5x
- y = c₁e²ˣcos3x + c₂e²ˣsin3x
- y = c₁e²ˣcos2x + c₂e²ˣsin2x
Ни один из предложенных вариантов не соответствует нашему найденному решению. Правильное общее решение:
y = e^(2x)(c₁cos(x) + c₂sin(x))
Это и есть окончательное решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
