Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов

Другие предметы Колледж Линейная зависимость и независимость векторов линейная алгебра аналитическая геометрия линейно зависимые векторы линейно независимые векторы определение векторов системы векторов колледж математика обучение векторы Новый

Определение линейной зависимости и независимости векторов

Векторные пространства играют важную роль в линейной алгебре, и понимание концепций линейной зависимости и независимости векторов является основополагающим. Давайте разберем эти понятия более подробно.

Линейно независимая система векторов

Система векторов называется линейно независимой, если ни один из векторов в этой системе не может быть представлен как линейная комбинация других векторов этой же системы. Это означает, что:

• Если у вас есть набор векторов v1, v2, ..., vn, то для того, чтобы система была линейно независимой, уравнение:
• c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn = 0
• должно иметь единственное решение, которое заключается в том, что все коэффициенты c1, c2, ..., cn равны нулю (c1 = c2 = ... = cn = 0).

Если это условие выполняется, то векторы v1, v2, ..., vn являются линейно независимыми.

Линейно зависимая система векторов

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один вектор в этой системе может быть представлен как линейная комбинация других векторов этой же системы. Это означает, что:

• Существует набор коэффициентов c1, c2, ..., cn, не все из которых равны нулю, такой что:
• c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn = 0.

Если такое уравнение имеет ненулевые решения (то есть хотя бы один из коэффициентов ci не равен нулю), то векторы v1, v2, ..., vn являются линейно зависимыми.

Пример

Рассмотрим векторы v1 = (1, 0), v2 = (0, 1) и v3 = (1, 1) в двумерном пространстве R².

• Векторы v1 и v2 линейно независимы, так как ни один из них не может быть представлен как комбинация другого.
• Однако, векторы v1, v2 и v3 линейно зависимы, потому что v3 = v1 + v2.

Таким образом, понимание линейной зависимости и независимости векторов помогает в анализе и решении задач в линейной алгебре.