Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательство критерия линейной зависимости 2х и 3х векторов.

Другие предметы Колледж Линейная зависимость и независимость векторов линейная алгебра аналитическая геометрия линейная зависимость линейная независимость векторы критерий линейной зависимости колледж математика Новый

Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов

Линейная зависимость и линейная независимость — это важные концепции в линейной алгебре, которые помогают понять, как векторы связаны между собой.

Линейная зависимость: Набор векторов называется линейно зависимым, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Это означает, что хотя бы один вектор в этом наборе можно выразить через другие векторы. Формально, векторы v1, v2, ..., vn линейно зависимы, если существуют такие скаляры a1, a2, ..., an, не все равные нулю, что:

• a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn = 0.

Линейная независимость: Набор векторов называется линейно независимым, если единственной линейной комбинацией, которая равна нулевому вектору, является тривиальная комбинация, где все коэффициенты равны нулю. То есть, если:

• a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn = 0,

то обязательно a1 = a2 = ... = an = 0.

Доказательство критерия линейной зависимости для 2-х векторов

Рассмотрим два вектора v1 и v2 в пространстве R^n. Эти векторы линейно зависимы, если существует такая комбинация:

• a1*v1 + a2*v2 = 0,

где a1 и a2 — скаляры. Чтобы проверить линейную зависимость, мы можем рассмотреть два случая:

1. Если оба вектора равны нулю (v1 = 0 и v2 = 0), то они линейно зависимы.
2. Если хотя бы один из векторов не равен нулю, то векторы линейно зависимы, если один из векторов можно выразить через другой. Например, если v1 = k*v2 для некоторого k, то векторы зависимы.

Таким образом, два вектора линейно зависимы, если они коллинеарны (лежат на одной прямой).

Доказательство критерия линейной зависимости для 3-х векторов

Теперь рассмотрим три вектора v1, v2 и v3 в пространстве R^n. Эти векторы линейно зависимы, если существует такая комбинация:

• a1*v1 + a2*v2 + a3*v3 = 0,

где a1, a2 и a3 — скаляры. Для проверки линейной зависимости трех векторов можно использовать следующее:

1. Если хотя бы один из векторов равен нулю, то векторы линейно зависимы, так как нулевой вектор может быть представлен как линейная комбинация любых векторов.
2. Если все векторы ненулевые, то мы можем проверить, можно ли выразить один вектор через два других. Например, если v3 = a*v1 + b*v2 для некоторых скаляров a и b, то векторы линейно зависимы.
3. Кроме того, можно составить матрицу из векторов и проверить её ранг. Если ранг матрицы меньше трех, то векторы линейно зависимы.

Таким образом, три вектора линейно зависимы, если они лежат в одной плоскости или один из них можно выразить через другие два.