Линейная зависимость и независимость наборов векторов являются важными понятиями в линейной алгебре. Давайте разберем, что это означает и как это доказать.

Определение линейной зависимости: Набор векторов v1, v2, ..., vn называется линейно зависимым, если существует такая ненулевая комбинация этих векторов, которая равна нулевому вектору. То есть, существуют скаляры a1, a2, ..., an, не все из которых равны нулю, такие, что:

a1 * v1 + a2 * v2 + ... + an * vn = 0.

Определение линейной независимости: Набор векторов v1, v2, ..., vn называется линейно независимым, если единственное решение уравнения выше — это все скаляры равны нулю (a1 = a2 = ... = an = 0).

Теперь давайте докажем, что набор векторов линейно зависим, если один из векторов можно выразить как линейную комбинацию остальных.

1. Предположим, что у нас есть набор векторов v1, v2, ..., vn, и допустим, что вектор vk (где 1 ≤ k ≤ n) можно выразить как линейную комбинацию остальных векторов. Это значит, что существует такая комбинация:
• vk = a1 * v1 + a2 * v2 + ... + ak-1 * v(k-1) + ak+1 * v(k+1) + ... + an * vn,
2. Теперь мы можем переписать это уравнение в следующем виде:
• vk - (a1 * v1 + a2 * v2 + ... + ak-1 * v(k-1) + ak+1 * v(k+1) + ... + an * vn) = 0.
3. Это уравнение можно представить в виде линейной комбинации векторов:
• 1 * vk + (-a1) * v1 + (-a2) * v2 + ... + (-ak-1) * v(k-1) + (-ak+1) * v(k+1) + ... + (-an) * vn = 0.
4. Таким образом, мы получили ненулевую линейную комбинацию векторов, которая равна нулевому вектору. Это значит, что набор векторов v1, v2, ..., vn является линейно зависимым.

Таким образом, мы доказали, что если один из векторов можно выразить в виде линейной комбинации остальных, то набор векторов является линейно зависимым.